2021-07-28
Сосуд с жидкостью движется горизонтально с ускорением $a$. Определите форму поверхности жидкости в сосуде.
Решение:
Выделим горизонтальный столбик жидкости длиной $l$ и площадью поперечного сечения $s$ (рис.). По второму закону Ньютона
$ma = (p_{1} - p_{2} )s$,
где $m = \rho ls$ - масса столбика, $p_{1}$ и $p_{2}$ - давления на него слева и справа. Давление на глубине $h$ определяется по обычной формуле $p = \rho gh$ (по вертикали ускорения нет). Подставляя выражения для $m$ и $p$ в уравнение второго закона Ньютона, получаем
$al = (h_{1} - h_{2})g$,
или
$\frac{h_{1} - h_{2} }{l} = \frac{a}{g}$.
Но $h_{1} - h_{2}$ - это разность высот точек поверхности жидкости. Мы получаем, что поверхность жидкости - плоскость, наклоненная к горизонту под углом $\alpha$, причем $tg \alpha = \frac{a}{g}$.
Заметим, что давление жидкости на данной высоте здесь не одно и то же. Линии равного давления параллельны поверхности жидкости. Если ввести расстояние $h^{ \prime}$ от точки до поверхности жидкости, то давление в этой точке
$p = \rho gh = \frac{ \rho gh^{ \prime } }{ \cos \alpha } = \rho h^{ \prime } \sqrt{g^{2} + a^{2} }$.
Поэтому можно сказать, что ускоренное движение сосуда эквивалентно замене ускорения свободного падения $\vec{g}$ на величину $\vec{g}^{ \prime } = \vec{g} - \vec{a}$. Это утверждение в равной степени относится и к предыдущим двум задачам.