2021-07-28
Длинная вертикальная труба с поршнем опущена одним концом в сосуд с водой. Вначале поршень находится у поверхности воды, затем его медленно поднимают. Как зависит сила, прикладываемая к поршню, от высоты $h$ его поднятия? Площадь поперечною сечения трубы $S$, атмосферное давление $p_{0}$. Изменением уровня воды в сосуде, массой поршня и его трением о стенки трубы пренебречь.
Решение:
При поднятии поршня вода под действием атмосферного давления будет вначале заполнять трубу (риc. а). Давление в трубе на уровне жидкости в сосуде равно атмосферному давлению $p_{0}$. Давление воды на поршень меньше атмосферного на величину веса столба жидкости высотой $h$ и площадью основания, равной единице:
$p = p_{0} - \rho gh$.
Сверху на поршень по-прежнему действует атмосферное давление. Поэтому для удержания поршня на высоте $h$ к нему надо приложить силу, равную
$F = (p_{0} - p)S = \rho gh S$
и направленную вверх.
С увеличением $h$ давление воды на поршень будет уменьшаться. На высоте $h_{0} = \frac{p_{0}}{ \rho g} = 10 м$ ($\p_{0} = 9,8 \cdot 10^{4} н/м^{2}$) давление обратится в ноль. При дальнейшем поднятии поршня уровень воды в трубе изменяться не будет так как сила атмосферного давления, действующая на столб жидкости в трубе снизу, уравновесится силой тяжести. Для удержания поршня на высоте $h > h_{0}$ к нему надо приложить силу
$F = p_{0}S$.
Зависимость прикладываемой к поршню силы $F$ от высоты его поднятия $h$ изображена графически на рисунке б.
Высота столба воды в трубе $h_{0} = \frac{p_{0}}{ \rho g}$, очевидно, может служить для измерения атмосферного давления $p_{0}$. Однако обычно в барометрах используют ртуть, и нормальному атмосферному давлению тогда соответствует значительно меньшая высота столба ртути $h_{рт} = \frac{p_{0}}{ \rho_{рт}g } = 0,76 м$ (плотность ртути $\rho_{рт} = 1,36 \cdot 10^{4} кг/м^{3}$).
Примером другого гидростатического устройства, широко используемого в практике, являются сообщающиеся сосуды. Известен закон сообщающихся сосудов: если давление над жидкостью в сосудах одинаково, то уровни жидкости в них равны. Нетрудно доказать этот закон для случая цилиндрических сосудов (рис.). Так как жидкость в соединительной трубке находится в равновесии, то давления на нее с обеих сторон должны быть одинаковы. Поэтому равны и уровни жидкости в сосудах.
В общем случае для доказательства закона сообщающихся сосудов можно воспользоваться принципом отвердевания, который часто используют в гидростатике. Суть этого принципа заключается в следующем всегда можно представить себе, что часть жидкости отвердела - равновесие оставшейся части жидкости от этого не нарушится. Так, в цилиндрических сообщающихся сосудах мы можем мысленно выделить часть жидкости, которая заполняла бы сообщающиеся сосуды любой извилистой формы (см рис.), и представить себе что остальная часть жидкости отвердевает. Тогда равновесие выделенной нами части жидкости не нарушится, и, следовательно, уровни жидкости в извилистых сообщающихся сосудах будут такими же, какими были в цилиндрических сосудах, т.е. одинаковыми.
Закон сообщающихся сосудов справедлив только для однородной жидкости. Если в сосуды налиты жидкости разных плотностей, то уровни в сосудах могут быть разными.