Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15399
2021-07-19 
Два маленьких шарика массами $m_{1}$ и $m_{2}$ жестко связаны между собой легким стержнем и насажены на неподвижную горизонтальную ось О, относительно которой они могут свободно вращаться (рис.). Расстояния от шариков до оси вращения равны $r_{1}$ и $r_{2}$. Систему отклонили от вертикали на малый угол $\phi_{0}$ и отпустили. Пренебрегая потерями энергии, найдите зависимость угла отклонения $\phi$ от времени при условии, что $m_{2}r_{2} > m_{1}r_{1}$.
Решение:
Рассмотрим движение связанных шариков в некоторый произвольный момент времени (рис.). Пусть система вращается по часовой стрелке, угол отклонения от вертикали равен $\phi$, а угловая скорость вращения шариков равна $\omega = \frac{ \Delta \phi}{ \Delta t} = \phi$. Запишем полную энергию системы в этот момент времени. Каждый из шариков обладает кинетическоЙ и потенциальной энергиями, причем потенциальную энергию будем отсчитывать от горизонтального уровня, проходящего через ось вращения О. Кинетическая энергия верхнего шарика $E_{k1} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} = \frac{m_{1} ( \phi r_{1} )^{2} }{2}$, а потенциальная $E_{p1} = m_{1}gr_{1} \cos \phi$. Аналогично для второго шарика: $E_{k2} = \frac{m_{2} ( \phi r_{2} )^{2}}{2}, E_{p2} = - m_{2}gr_{2} \cos \phi$. Полная энергия шариков во время движения остается неизменной, поэтому
$\frac{ m_{1} ( \dot{ \phi }r_{1} )^{2} }{2} + \frac{m_{2} ( \dot{ \phi} r_{2} )^{2} }{2} + m_{1}gr_{1} \cos \phi - m_{2}gr_{2} \cos \phi = const$.
Продифференцировав по времени, получим уравнение движения:
$(m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2} ) \dot{ \phi } \ddot{ \phi } + (m_{2}r_{2} - m_{1}r_{1} ) g \sin \phi \cdot \dot{ \phi } = 0$.
Заменяя $\sin \phi = \phi$ и вынося за скобки $\dot{ \phi}$, запишем два уравнения:
$\dot{ \phi } = 0, \ddot{ \phi } + \frac{(m_{2}r_{2} - m_{1}r_{1} )g }{m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2} } \phi = 0$.
Первое уравнение соответствует тривиальному решению $\phi = const$. Очевидно, что это случаи, когда система находится в состоянии устойчивого равновесия $\phi = 0$. Второе уравнение, при условии, что коэффициент при $\phi$ больше нуля, описывает гармонические колебания. Решение такого уравнения будем искать в виде $\phi(t) = A \sin \omega_{0}t + B \cos \omega_{0}t$, где $A, B$ и $\omega_{0}$ - некоторые константы. После подстановки $\phi(t)$ в исходное уравнение найдем собственную частоту колебаний системы:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{(m_{2}r_{2} - m_{1}r_{1} )g }{m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2} } }$.
Для нахождения констант $A$ и $B$ необходимо использовать начальные условия. При $t = 0, \phi = \phi_{0}$, а $\dot{ \phi} = 0$. Из первого условия следует, что $B = \phi_{0}$, а из второго - $A = 0$. Окончательное решение уравнения движения имеет вид
$\phi(t) = \phi_{0} \cos \omega_{0}t$.
Итак, наша система шариков будет совершать гармонические колебания с круговой частотой $\omega_{0}$ и амплитудой $\phi_{0}$. Заметим, что если в выражении для $\omega_{0}$ положить $m_{1} = 0$, то мы получим знакомое выражение для собственной частоты колебаний математического маятника: $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{g}{r}}$.
Два маленьких шарика массами $m_{1}$ и $m_{2}$ жестко связаны между собой легким стержнем и насажены на неподвижную горизонтальную ось О, относительно которой они могут свободно вращаться (рис.). Расстояния от шариков до оси вращения равны $r_{1}$ и $r_{2}$. Систему отклонили от вертикали на малый угол $\phi_{0}$ и отпустили. Пренебрегая потерями энергии, найдите зависимость угла отклонения $\phi$ от времени при условии, что $m_{2}r_{2} > m_{1}r_{1}$.
Решение:
Рассмотрим движение связанных шариков в некоторый произвольный момент времени (рис.). Пусть система вращается по часовой стрелке, угол отклонения от вертикали равен $\phi$, а угловая скорость вращения шариков равна $\omega = \frac{ \Delta \phi}{ \Delta t} = \phi$. Запишем полную энергию системы в этот момент времени. Каждый из шариков обладает кинетическоЙ и потенциальной энергиями, причем потенциальную энергию будем отсчитывать от горизонтального уровня, проходящего через ось вращения О. Кинетическая энергия верхнего шарика $E_{k1} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} = \frac{m_{1} ( \phi r_{1} )^{2} }{2}$, а потенциальная $E_{p1} = m_{1}gr_{1} \cos \phi$. Аналогично для второго шарика: $E_{k2} = \frac{m_{2} ( \phi r_{2} )^{2}}{2}, E_{p2} = - m_{2}gr_{2} \cos \phi$. Полная энергия шариков во время движения остается неизменной, поэтому
$\frac{ m_{1} ( \dot{ \phi }r_{1} )^{2} }{2} + \frac{m_{2} ( \dot{ \phi} r_{2} )^{2} }{2} + m_{1}gr_{1} \cos \phi - m_{2}gr_{2} \cos \phi = const$.
Продифференцировав по времени, получим уравнение движения:
$(m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2} ) \dot{ \phi } \ddot{ \phi } + (m_{2}r_{2} - m_{1}r_{1} ) g \sin \phi \cdot \dot{ \phi } = 0$.
Заменяя $\sin \phi = \phi$ и вынося за скобки $\dot{ \phi}$, запишем два уравнения:
$\dot{ \phi } = 0, \ddot{ \phi } + \frac{(m_{2}r_{2} - m_{1}r_{1} )g }{m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2} } \phi = 0$.
Первое уравнение соответствует тривиальному решению $\phi = const$. Очевидно, что это случаи, когда система находится в состоянии устойчивого равновесия $\phi = 0$. Второе уравнение, при условии, что коэффициент при $\phi$ больше нуля, описывает гармонические колебания. Решение такого уравнения будем искать в виде $\phi(t) = A \sin \omega_{0}t + B \cos \omega_{0}t$, где $A, B$ и $\omega_{0}$ - некоторые константы. После подстановки $\phi(t)$ в исходное уравнение найдем собственную частоту колебаний системы:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{(m_{2}r_{2} - m_{1}r_{1} )g }{m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2} } }$.
Для нахождения констант $A$ и $B$ необходимо использовать начальные условия. При $t = 0, \phi = \phi_{0}$, а $\dot{ \phi} = 0$. Из первого условия следует, что $B = \phi_{0}$, а из второго - $A = 0$. Окончательное решение уравнения движения имеет вид
$\phi(t) = \phi_{0} \cos \omega_{0}t$.
Итак, наша система шариков будет совершать гармонические колебания с круговой частотой $\omega_{0}$ и амплитудой $\phi_{0}$. Заметим, что если в выражении для $\omega_{0}$ положить $m_{1} = 0$, то мы получим знакомое выражение для собственной частоты колебаний математического маятника: $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{g}{r}}$.
