Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15397
2021-07-19 
Маленький стальной шарик массой $M$ падает в воду под углом $\phi$ к нормали со скоростью $v_{0}$ (рис.). На шарик в воде действует сила сопротивления, пропорциональная скорости ( $\vec{F} = - \alpha \vec{v}$ ). Найдите зависимость горизонтальной и вертикальной составляющих скорости шарика от времени. Определите также установившуюся скорость шарика.
Решение:
Будем рассматривать движение шарика в системе координат, изображенной на рисунке. Уравнение движения шарика вдоль оси X запишем в виде
$\frac{ \Delta v_{x} }{ \Delta t} = - \frac{ \alpha }{M} v_{x}$.
Характерной особенностью является то, что скорость изменения величины $v_{x}$ пропорциональна самой величине, а знак «минус» означает, что $v_{x}$ убывает. Решение такого уравнения ищется в виде $v_{x}(t) = Ae^{ \lambda t}$, где $A$ и $\lambda$ - некоторые константы. После подстановки $v_{x}(t)$ в исходное уравнение найдем, что $\lambda = - \frac{ \alpha }{M}$. Константу $A$ находим из начальных условий: при $t = 0 ~ v_{x0} = v_{0} \sin \phi = A$. Зависимость горизонтальной составляющей скорости шарика от времени будет иметь вид
$v_{x}(t) = v_{0} \sin \phi \cdot e^{ - \frac{ \alpha }{M}t }$.
Это означает, что составляющая скорости шарика вдоль оси X экспоненциально убывает и при $t \rightarrow \infty$ стремится к нулю. Формально горизонтальная скорость станет нулевой через бесконечное время, однако реально это произойдет через конечное время. Такие процессы принято характеризовать так называемой постоянной времени (временем релаксации) $\tau$. В данном случае это время, за которое скорость упадет в $e$ раз, оно равно $\tau = \frac{M}{ \alpha }$.
Теперь запишем уравнение движения шарика вдоль оси Y:
$\frac{ \Delta v_{y} }{ \Delta t} = - \frac{ \alpha }{M} \left ( v_{y} - \frac{M}{ \alpha }g \right )$.
Введем новую переменную $u = v_{y} - \frac{M}{ \alpha }g$. Тогда уравнение движения будет иметь вид
$\frac{ \Delta u}{ \Delta t} = - \frac{ \alpha }{M} u$,
а его решение -
$u(t) = Be^{ - \frac{ \alpha }{M} t }$.
Константу $B$ найдем из начальных условий: при $t = 0$ и $u = v_{0} \cos \phi - \frac{M}{ \alpha }g = B$, и, следовательно,
$v_{y} - \frac{M}{ \alpha }g = \left ( v_{0} \cos \phi - \frac{M}{ \alpha } g \right ) e^{ - \frac{ \alpha }{M}t }$.
Отсюда
$v_{y}(t) = v_{0} \cos \phi \cdot e^{ - \frac{ \alpha }{M}t } + \frac{M}{ \alpha }g \left ( 1 - e^{ - \frac{ \alpha }{M}t } \right )$.
При $t \rightarrow \infty$ вертикальная составляющая скорости шаркка стремится к постоянному значению $v_{y}( \infty ) = \frac{Mg}{ \alpha}$ с той же самой постоянной времени $\tau = \frac{M}{ \alpha }$.
Итак, установившаяся скорость шарика будет направлена вертикально вниз и равна $\frac{Mg}{ \alpha}$, а произойдет это примерно через время, равное $\tau$.
Графики зависимости $v_{x}(t)$ и $v_{y}(t)$ показаны на рисунке.
Маленький стальной шарик массой $M$ падает в воду под углом $\phi$ к нормали со скоростью $v_{0}$ (рис.). На шарик в воде действует сила сопротивления, пропорциональная скорости ( $\vec{F} = - \alpha \vec{v}$ ). Найдите зависимость горизонтальной и вертикальной составляющих скорости шарика от времени. Определите также установившуюся скорость шарика.
Решение:
Будем рассматривать движение шарика в системе координат, изображенной на рисунке. Уравнение движения шарика вдоль оси X запишем в виде
$\frac{ \Delta v_{x} }{ \Delta t} = - \frac{ \alpha }{M} v_{x}$.
Характерной особенностью является то, что скорость изменения величины $v_{x}$ пропорциональна самой величине, а знак «минус» означает, что $v_{x}$ убывает. Решение такого уравнения ищется в виде $v_{x}(t) = Ae^{ \lambda t}$, где $A$ и $\lambda$ - некоторые константы. После подстановки $v_{x}(t)$ в исходное уравнение найдем, что $\lambda = - \frac{ \alpha }{M}$. Константу $A$ находим из начальных условий: при $t = 0 ~ v_{x0} = v_{0} \sin \phi = A$. Зависимость горизонтальной составляющей скорости шарика от времени будет иметь вид
$v_{x}(t) = v_{0} \sin \phi \cdot e^{ - \frac{ \alpha }{M}t }$.
Это означает, что составляющая скорости шарика вдоль оси X экспоненциально убывает и при $t \rightarrow \infty$ стремится к нулю. Формально горизонтальная скорость станет нулевой через бесконечное время, однако реально это произойдет через конечное время. Такие процессы принято характеризовать так называемой постоянной времени (временем релаксации) $\tau$. В данном случае это время, за которое скорость упадет в $e$ раз, оно равно $\tau = \frac{M}{ \alpha }$.
Теперь запишем уравнение движения шарика вдоль оси Y:
$\frac{ \Delta v_{y} }{ \Delta t} = - \frac{ \alpha }{M} \left ( v_{y} - \frac{M}{ \alpha }g \right )$.
Введем новую переменную $u = v_{y} - \frac{M}{ \alpha }g$. Тогда уравнение движения будет иметь вид
$\frac{ \Delta u}{ \Delta t} = - \frac{ \alpha }{M} u$,
а его решение -
$u(t) = Be^{ - \frac{ \alpha }{M} t }$.
Константу $B$ найдем из начальных условий: при $t = 0$ и $u = v_{0} \cos \phi - \frac{M}{ \alpha }g = B$, и, следовательно,
$v_{y} - \frac{M}{ \alpha }g = \left ( v_{0} \cos \phi - \frac{M}{ \alpha } g \right ) e^{ - \frac{ \alpha }{M}t }$.
Отсюда
$v_{y}(t) = v_{0} \cos \phi \cdot e^{ - \frac{ \alpha }{M}t } + \frac{M}{ \alpha }g \left ( 1 - e^{ - \frac{ \alpha }{M}t } \right )$.
При $t \rightarrow \infty$ вертикальная составляющая скорости шаркка стремится к постоянному значению $v_{y}( \infty ) = \frac{Mg}{ \alpha}$ с той же самой постоянной времени $\tau = \frac{M}{ \alpha }$.
Итак, установившаяся скорость шарика будет направлена вертикально вниз и равна $\frac{Mg}{ \alpha}$, а произойдет это примерно через время, равное $\tau$.
Графики зависимости $v_{x}(t)$ и $v_{y}(t)$ показаны на рисунке.
