Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15394
2021-07-19 
На стеклянную плоскопараллельную пластинку толщиной $H =3 мм$ падает узкий пучок монохроматического света (рис.). Пучок параллелен оптической оси $OO_{1}$, которая перпендикулярна пластинке и проходит через ее центр. Расстояние между пучком и осью $R = 3 см$. Показатель преломления стекла для падающего на пластинку света имеет радиальную зависимостъ: $n(r) = n_{0} \left ( 1 - \left ( \frac{r}{r_{0} } \right )^{2} \right )$, где $n_{0}$ и $r_{0}$ - константы ($n_{0} = 1,5, r_{0} =9см$). Определите угол между выходящим пучком и осью.
Решение:
Пусть ширина пучка света. падающего на пластинку, равна $\Delta R$, причем $R \gg \Delta R$ (рис.). Так как показатель преломления $n$ является функций радиуса $r$ (т.е. среда обладает пространственной дисперсией), времена распространения крайних лучей, расположенных на расстояниях $R$ и $R + \Delta R$ от оси $OO_{1}$, различны из-за разницы скоростей, равных
$v_{1} = \frac{c}{n(R)}$ и $v_{2} = \frac{c}{n(R + \Delta R)}$.
В результате по мере прохождения через пластинку волновой фронт светового пучка искривляется и на выходе из пластинки поворачивается на некоторый угол $\alpha$. При этом длина оптического пути $ABC^{ \prime}$ равна $A^{ \prime }B^{ \prime}$ (линия $B^{ \prime }C^{ \prime}$ есть линия пересечения волнового фронта пучка, прошедшего через пластинку, и плоскости рисунка). Угол $\alpha$ равен искомому углу между выходяшим пучком и осью.
Время прохождения нижнего края пучка через пластинку равно
$t_{1} = \frac{H}{v_{1} } = \frac{H}{c}n(R)$.
Для верхнего края -
$t_{2} = \frac{H}{v_{2} } = \frac{H}{c } n(R + \Delta R)$.
Кроме того, существует дополнительная задержка для верхнего края пучка
$t_{3} = \frac{BC^{ \prime} }{c} = \frac{ \Delta R \sin \alpha }{c}$.
Приравнивая длины оптических путей нижнего и верхнего краев пучка, получим
$ct_{1} = ct_{2} + ct_{3}$,
или
$Hn(R) = Hn(R + \Delta R) + \Delta R \sin \alpha$,
откуда
$\alpha = arcsin \frac{H(n(R) - n(R + \Delta R))}{ \Delta R} = Hn_{0} \frac{2R}{r_{0}^{2} } \approx 2^{ \circ }$.
На стеклянную плоскопараллельную пластинку толщиной $H =3 мм$ падает узкий пучок монохроматического света (рис.). Пучок параллелен оптической оси $OO_{1}$, которая перпендикулярна пластинке и проходит через ее центр. Расстояние между пучком и осью $R = 3 см$. Показатель преломления стекла для падающего на пластинку света имеет радиальную зависимостъ: $n(r) = n_{0} \left ( 1 - \left ( \frac{r}{r_{0} } \right )^{2} \right )$, где $n_{0}$ и $r_{0}$ - константы ($n_{0} = 1,5, r_{0} =9см$). Определите угол между выходящим пучком и осью.
Решение:
Пусть ширина пучка света. падающего на пластинку, равна $\Delta R$, причем $R \gg \Delta R$ (рис.). Так как показатель преломления $n$ является функций радиуса $r$ (т.е. среда обладает пространственной дисперсией), времена распространения крайних лучей, расположенных на расстояниях $R$ и $R + \Delta R$ от оси $OO_{1}$, различны из-за разницы скоростей, равных
$v_{1} = \frac{c}{n(R)}$ и $v_{2} = \frac{c}{n(R + \Delta R)}$.
В результате по мере прохождения через пластинку волновой фронт светового пучка искривляется и на выходе из пластинки поворачивается на некоторый угол $\alpha$. При этом длина оптического пути $ABC^{ \prime}$ равна $A^{ \prime }B^{ \prime}$ (линия $B^{ \prime }C^{ \prime}$ есть линия пересечения волнового фронта пучка, прошедшего через пластинку, и плоскости рисунка). Угол $\alpha$ равен искомому углу между выходяшим пучком и осью.
Время прохождения нижнего края пучка через пластинку равно
$t_{1} = \frac{H}{v_{1} } = \frac{H}{c}n(R)$.
Для верхнего края -
$t_{2} = \frac{H}{v_{2} } = \frac{H}{c } n(R + \Delta R)$.
Кроме того, существует дополнительная задержка для верхнего края пучка
$t_{3} = \frac{BC^{ \prime} }{c} = \frac{ \Delta R \sin \alpha }{c}$.
Приравнивая длины оптических путей нижнего и верхнего краев пучка, получим
$ct_{1} = ct_{2} + ct_{3}$,
или
$Hn(R) = Hn(R + \Delta R) + \Delta R \sin \alpha$,
откуда
$\alpha = arcsin \frac{H(n(R) - n(R + \Delta R))}{ \Delta R} = Hn_{0} \frac{2R}{r_{0}^{2} } \approx 2^{ \circ }$.
