Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15383
2021-07-19 
Колокол для подводных работ представляет собой тонкостенный цилиндрический стакан, который опускается вверх дном с борта катера на дно водоема. Какова должна быть толщина стенок и дна колокола, чтобы он мог покоиться на дне водоема дубиной $H = 3 м$? Внутренний радиус колокола $r = 1 м$, высота $h = 2 м$, плотность стали $\rho_{ст} = 7,8 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Решение:
Предположим, что в момент касания колоколом дна водоема между ним есть тонкая водяная прослойка (рис.). Для простоты толщину $\Delta$ стенок и дна колокола будем считать одинаковой н малой по сравнению с его радиусом и высотой. Вес воды, вытесненной колоколом, определяется объемам воздушной прослойки $\pi r^{2}x$ и объемом боковых стенок и дна колокола $2 \pi rh \Delta$ и $\pi (r + \Delta )^{2} \Delta \approx \pi r^{2} \Delta$. Толщина стенок $\Delta$ определяется условием, что сила тяжести колокола не меньше выталкивающей силы. т.е.
$\rho_{в} ( \pi r^{2} x + 2 \pi rh \Delta + \pi r^{2} \Delta ) \geq \rho_{ст} ( \pi r^{2} \Delta + 2 \pi r h \Delta )$. (*)
где $\rho_{в} = 10^{3} кг/м^{3}$ - плотность воды. Найдем теперь толщину $x$ воздушной прослойки, оставшейся у потолка в момент касания колоколом дна водоема. Воздух в колоколе находится под давлением $\rho_{в} g(H + H_{0} - (h - x))$, где $g$ - ускорение свободного падения, $\rho_{в}gH_{0}$ - наружное атмосферное давление ($H_{0} =
10,3 м$). По закону Бойля - Мариотта имеем
$\rho_{в} gH_{0}h \pi r^{2} = \rho_{в}g(H_{0} + H - (h - x))x \pi r^{2}$,
откуда получаем
$x^{2} gH_{0}h \pi r^{2} = \rho_{в}g(H_{0} + H - (h -x))x \pi r^{2}$,
Окончательно из неравенства (*) для толщины стенок находим
$\Delta = \frac{ \rho_{d}r^{2}x }{( \rho_{ст} - \rho_{в} )( r^{2} + 2rh )} \approx 4,6 \cdot 10^{-2} м$.
Приведем еще один расчет величины максимальной выталкивающей силы - с использованием закона Паскаля. Воздух в колоколе действует снизу на внутреннюю поверхность дна площадью $\pi r^{2}$ с силой $\rho_{в} g( H_{0} + H - (h - x)) \pi r^{2}$. На поверхность соприкосновения колокола c дном площадью $2 \pi r \Delta $ действует снизу сила, равная $\rho_{в}g (H_{0} + H) \cdot 2 \pi r \Delta$. Сверху на дно колокола площадью $\pi (r + \Delta )^{2} \approx \pi r^{2} + 2 \pi r \Delta$ действует сила $\rho_{в}g (H_{0} + H - h - \Delta )( \pi r^{2} + 2 \pi r \Delta )$. Выталкивающая сила равна разности сил давления снизу и сверху:
$\rho_{в} g(H_{0} + H - (h- x)) \pi r^{2} + \rho_{в}g (H_{0} + H ) \cdot 2 \pi r \Delta - \rho_{в}g (H_{0} + H - h - \Delta )( \pi r^{2} + 2 \pi r \Delta ) \simeq \rho_{в} g( \pi r^{2}x + ( 2 \pi r h + \pi r^{2} ) \Delta )$,
что совпадает с величиной, приведенной в выражении (*).
Колокол для подводных работ представляет собой тонкостенный цилиндрический стакан, который опускается вверх дном с борта катера на дно водоема. Какова должна быть толщина стенок и дна колокола, чтобы он мог покоиться на дне водоема дубиной $H = 3 м$? Внутренний радиус колокола $r = 1 м$, высота $h = 2 м$, плотность стали $\rho_{ст} = 7,8 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Решение:
Предположим, что в момент касания колоколом дна водоема между ним есть тонкая водяная прослойка (рис.). Для простоты толщину $\Delta$ стенок и дна колокола будем считать одинаковой н малой по сравнению с его радиусом и высотой. Вес воды, вытесненной колоколом, определяется объемам воздушной прослойки $\pi r^{2}x$ и объемом боковых стенок и дна колокола $2 \pi rh \Delta$ и $\pi (r + \Delta )^{2} \Delta \approx \pi r^{2} \Delta$. Толщина стенок $\Delta$ определяется условием, что сила тяжести колокола не меньше выталкивающей силы. т.е.
$\rho_{в} ( \pi r^{2} x + 2 \pi rh \Delta + \pi r^{2} \Delta ) \geq \rho_{ст} ( \pi r^{2} \Delta + 2 \pi r h \Delta )$. (*)
где $\rho_{в} = 10^{3} кг/м^{3}$ - плотность воды. Найдем теперь толщину $x$ воздушной прослойки, оставшейся у потолка в момент касания колоколом дна водоема. Воздух в колоколе находится под давлением $\rho_{в} g(H + H_{0} - (h - x))$, где $g$ - ускорение свободного падения, $\rho_{в}gH_{0}$ - наружное атмосферное давление ($H_{0} =
10,3 м$). По закону Бойля - Мариотта имеем
$\rho_{в} gH_{0}h \pi r^{2} = \rho_{в}g(H_{0} + H - (h - x))x \pi r^{2}$,
откуда получаем
$x^{2} gH_{0}h \pi r^{2} = \rho_{в}g(H_{0} + H - (h -x))x \pi r^{2}$,
Окончательно из неравенства (*) для толщины стенок находим
$\Delta = \frac{ \rho_{d}r^{2}x }{( \rho_{ст} - \rho_{в} )( r^{2} + 2rh )} \approx 4,6 \cdot 10^{-2} м$.
Приведем еще один расчет величины максимальной выталкивающей силы - с использованием закона Паскаля. Воздух в колоколе действует снизу на внутреннюю поверхность дна площадью $\pi r^{2}$ с силой $\rho_{в} g( H_{0} + H - (h - x)) \pi r^{2}$. На поверхность соприкосновения колокола c дном площадью $2 \pi r \Delta $ действует снизу сила, равная $\rho_{в}g (H_{0} + H) \cdot 2 \pi r \Delta$. Сверху на дно колокола площадью $\pi (r + \Delta )^{2} \approx \pi r^{2} + 2 \pi r \Delta$ действует сила $\rho_{в}g (H_{0} + H - h - \Delta )( \pi r^{2} + 2 \pi r \Delta )$. Выталкивающая сила равна разности сил давления снизу и сверху:
$\rho_{в} g(H_{0} + H - (h- x)) \pi r^{2} + \rho_{в}g (H_{0} + H ) \cdot 2 \pi r \Delta - \rho_{в}g (H_{0} + H - h - \Delta )( \pi r^{2} + 2 \pi r \Delta ) \simeq \rho_{в} g( \pi r^{2}x + ( 2 \pi r h + \pi r^{2} ) \Delta )$,
что совпадает с величиной, приведенной в выражении (*).
