Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15376
2021-07-19 
Толкая изогнутая трубка постоянною сечения расположена в вертикальной плоскости(рис.). Каждое колено трубки наклонено к горизонту под углом $\alpha$. Длина части трубки, занятой жидкостью, равна $L$. Найдите период колебаний жидкости в трубке. При колебаниях опускающаяся поверхность жидкости не достигает изогнутого участка трубки. Трение между слоями жидкости и жидкости о трубку не учитывать.
Решение:
За колеблющуюся физическую величину возьмем координату $x$ поверхности жидкости в левом колене, направив ось X вдоль колена и поместив начало координат в равновесное положение поверхности жидкости в этом колене (см рис. ). Пусть масса единицы длины жидкости в трубке $\rho$. Тогда масса всей жидкости $\rho l$. При колебаниях скорость жидкости равна производной $x^{ \prime}$ от координаты $x$ по времени. Кинетическая энергия всей жидкости равна
$E_{k} = \frac{ \rho l (x^{ \prime} )^{2} }{2}$.
Теперь выразим потенциальную энергию жидкости через координату $x$. Если в левом колене уровень жидкости сместился вдоль трубки на $x$ вниз, то по вертикали он опустился на $H = x \sin \alpha$ в левом колене и поднялся на $H$ в правом. Это эквивалентно тому, что жидкость массой $\rho x$ была перенесена из левого колена в правое, поднявшись иа высоту $H$. Потенциальную энергию жидкости в положении равновесия примем за нуль. Тогда
$E_{p} = \rho xgH = \rho g x^{2} \sin \alpha$.
Полная энергия жидкости $E_{k} + E_{p}$ при колебаниях сохраняется
$\frac{ \rho l (x^{ \prime} )^{2}}{2} + \rho gx^{2} \sin \alpha = const$.
Дифференцируем уравнение по времени:
$\rho lx^{ \prime} x^{ \prime \prime} + 2 \rho gxx^{ \prime } \sin \alpha = 0$.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение * армонических колебаний для величины $x$:
$x^{ \prime \prime } + \frac{2g \sin \alpha }{l} x = 0$.
Итак, колебания жидкости в трубке гармонические с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I}{2 g \sin \alpha } }$.
Толкая изогнутая трубка постоянною сечения расположена в вертикальной плоскости(рис.). Каждое колено трубки наклонено к горизонту под углом $\alpha$. Длина части трубки, занятой жидкостью, равна $L$. Найдите период колебаний жидкости в трубке. При колебаниях опускающаяся поверхность жидкости не достигает изогнутого участка трубки. Трение между слоями жидкости и жидкости о трубку не учитывать.
Решение:
За колеблющуюся физическую величину возьмем координату $x$ поверхности жидкости в левом колене, направив ось X вдоль колена и поместив начало координат в равновесное положение поверхности жидкости в этом колене (см рис. ). Пусть масса единицы длины жидкости в трубке $\rho$. Тогда масса всей жидкости $\rho l$. При колебаниях скорость жидкости равна производной $x^{ \prime}$ от координаты $x$ по времени. Кинетическая энергия всей жидкости равна
$E_{k} = \frac{ \rho l (x^{ \prime} )^{2} }{2}$.
Теперь выразим потенциальную энергию жидкости через координату $x$. Если в левом колене уровень жидкости сместился вдоль трубки на $x$ вниз, то по вертикали он опустился на $H = x \sin \alpha$ в левом колене и поднялся на $H$ в правом. Это эквивалентно тому, что жидкость массой $\rho x$ была перенесена из левого колена в правое, поднявшись иа высоту $H$. Потенциальную энергию жидкости в положении равновесия примем за нуль. Тогда
$E_{p} = \rho xgH = \rho g x^{2} \sin \alpha$.
Полная энергия жидкости $E_{k} + E_{p}$ при колебаниях сохраняется
$\frac{ \rho l (x^{ \prime} )^{2}}{2} + \rho gx^{2} \sin \alpha = const$.
Дифференцируем уравнение по времени:
$\rho lx^{ \prime} x^{ \prime \prime} + 2 \rho gxx^{ \prime } \sin \alpha = 0$.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение * армонических колебаний для величины $x$:
$x^{ \prime \prime } + \frac{2g \sin \alpha }{l} x = 0$.
Итак, колебания жидкости в трубке гармонические с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I}{2 g \sin \alpha } }$.
