Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15375
2021-07-19 
На легком стержне длиной $l$ висит небольшой шарик массой $m$ (рис.). К стержню прикреплена легкая пружина жесткостью $k$ на расстоянии $\frac{2}{3} l$ от точки подвеса. Другой конец пружины прикреплен к стене. Система может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О. В положении равновесия стержень вертикален, пружина горизонтальна и не деформирована. Найдите период малых колебаний системы в плоскости чертежа.
Решение:
Колеблющейся физической величиной будем считать угол $\alpha$ отклонения стержня от вертикали (рис.). Выразим кинетическую и потенциальную энергии системы в произвольный момент времени $t$ через угол $\alpha = \alpha (t)$ (будем считать его малым) и производную угла по времени $\alpha^{ \prime} = \alpha^{ \prime}(t)$.
Линейная скорость шарика равна $\alpha^{ \prime} (t) l$, кинетическая энергия -
$E_{k} = \frac{ml^{2}( \alpha^{ \prime} )^{2} }{2}$.
За нулевой уровень потенциальной энергии шарика возьмем уровень, соответствующий положению равновесия шарика. Тогда потенциальная энергия шарика в поле тяжести будет
$E_{p1} = mg(l - l \cos \alpha) = 2mgl \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{mgl \alpha^{2} }{2}$.
При отклонении маятника длина пружины сократится на $x = \frac{2l \sin \alpha}{3} \approx \frac{2l \alpha}{З}$ и ее потенциальная энергия станет
$E_{p2} = \frac{kx^{2} }{2} = \frac{2k l^{2} \alpha^{2}}{9}$.
Полная энергия системы, рапная $E_{k} + E_{p1} + E_{p2}$, при колебаниях сохраняется:
$\frac{ml^{2} ( \alpha^{ \prime } )^{2} }{2} + \frac{}mgl \alpha^{2} {2} + \frac{2kl^{2} \alpha^{2} }{9} = const$.
Продифференцируем это равенство по времени:
$ml^{2} \alpha^{ \prime } \alpha^{ \prime \prime } + mgl \alpha \alpha^{ \prime} + 4 \frac{kl^{2} \alpha \alpha^{ \prime} }{9} = 0$.
или
$\alpha^{ \prime \prime} + \left ( \frac{g}{l} + \frac{4}{9} \frac{k}{m} \right ) \alpha = 0$.
Видим, что получено дифференциальное уравнение гармонических колебаний, период которых равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{1}{ \frac{g}{l} + \frac{4}{9} \frac{k}{m} } }$.
На легком стержне длиной $l$ висит небольшой шарик массой $m$ (рис.). К стержню прикреплена легкая пружина жесткостью $k$ на расстоянии $\frac{2}{3} l$ от точки подвеса. Другой конец пружины прикреплен к стене. Система может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О. В положении равновесия стержень вертикален, пружина горизонтальна и не деформирована. Найдите период малых колебаний системы в плоскости чертежа.
Решение:
Колеблющейся физической величиной будем считать угол $\alpha$ отклонения стержня от вертикали (рис.). Выразим кинетическую и потенциальную энергии системы в произвольный момент времени $t$ через угол $\alpha = \alpha (t)$ (будем считать его малым) и производную угла по времени $\alpha^{ \prime} = \alpha^{ \prime}(t)$.
Линейная скорость шарика равна $\alpha^{ \prime} (t) l$, кинетическая энергия -
$E_{k} = \frac{ml^{2}( \alpha^{ \prime} )^{2} }{2}$.
За нулевой уровень потенциальной энергии шарика возьмем уровень, соответствующий положению равновесия шарика. Тогда потенциальная энергия шарика в поле тяжести будет
$E_{p1} = mg(l - l \cos \alpha) = 2mgl \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{mgl \alpha^{2} }{2}$.
При отклонении маятника длина пружины сократится на $x = \frac{2l \sin \alpha}{3} \approx \frac{2l \alpha}{З}$ и ее потенциальная энергия станет
$E_{p2} = \frac{kx^{2} }{2} = \frac{2k l^{2} \alpha^{2}}{9}$.
Полная энергия системы, рапная $E_{k} + E_{p1} + E_{p2}$, при колебаниях сохраняется:
$\frac{ml^{2} ( \alpha^{ \prime } )^{2} }{2} + \frac{}mgl \alpha^{2} {2} + \frac{2kl^{2} \alpha^{2} }{9} = const$.
Продифференцируем это равенство по времени:
$ml^{2} \alpha^{ \prime } \alpha^{ \prime \prime } + mgl \alpha \alpha^{ \prime} + 4 \frac{kl^{2} \alpha \alpha^{ \prime} }{9} = 0$.
или
$\alpha^{ \prime \prime} + \left ( \frac{g}{l} + \frac{4}{9} \frac{k}{m} \right ) \alpha = 0$.
Видим, что получено дифференциальное уравнение гармонических колебаний, период которых равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{1}{ \frac{g}{l} + \frac{4}{9} \frac{k}{m} } }$.
