Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15374
2021-07-14 
В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью пластин $S$ и расстоянием $d$ между ними помещен в лоток проводящей жидкости с удельным сопротивлением $\rho$, движущейся с постоянной скоростью $v$ параллельно пластинам. Конденсатор находится в однородном магнитном поле с индукцией, равной $B$ и направленной перпендикулярно плоскости рисунка. Найдите полезную тепловую мощность, которая выделяется на внешней нагрузке в виде резистора сопротивлением $R$. Пренебрегая возможными потерями при про текании жидкости, определите также КПД такого генератора.
Решение:
Рассмотрим вкратце процесс установления стационарного состояния - когда через резистор течет постоянный ток.
Как только проводящая жидкость начинает протекать между обкладками конденсатора, на свободные заряды жидкости со стороны внешнего магнитного поля начинает действовать сила Лоренца. Положительные заряды начинают смещаться к верхней пластине конденсатора, а отрицательные - к нижней Между пластинами конденсатора возникает разность потенциалов, которая приводит к появлению тока через резистор $R$. Одновременно, возникшее электрическое поле начинает препятствовать движению свободных зарядов жидкости к пластинам. В результате через некоторое время устанавливается стационарное состояние заряд, поступающий из жидкости на каждую пластину в единицу времени равен силе тока, протекающего через резистор. Другими словами, в цепи резистора начинает течь постоянный ток. Обозначим его через $I$.
Теперь выясним, чему равна электродвижущая сила, которая поддерживает ток в цепи. По определению, ЭДС равна напряжению на пластинах конденсатора при разомкнутой внешней цепи. Условие отсутствия тока внутри конденсатора имеет вид $E = vB$, где $E$ - напряженность электрического поля. Разность потенциалов между пластинами составляет $\mathcal{E} = Ed = vBd$. Это и есть величина электродвижущей силы, действующей в замкнутой цепи. Можно нарисовать эквивалентную электрическую схему - см рисунок, где $r$ - внутреннее сопротивление источника: $r = \rho \frac{d}{S}$.
Очевидно, что сила тока в такой цепи равна
$I = \frac{ \mathcal{E} }{R + r} = \frac{vBd}{R + \rho \frac{d}{S} }$,
а мощность, выделяемая на резисторе, составляет
$P_{R} = I^{2}R = \frac{(vBd)^{2}R}{ \left ( R + \rho \frac{d}{S} \right )^{2} } = \frac{(vBd)^{2} }{R \left ( 1 + \frac{ \rho d}{SR} \right )^{2} }$.
Для расчета КПД генератора необходимо найти мощность внешних сил, приводящих в действие генератор. Понятно, что работа внешних сил затрачивается на перемещение жидкости между пластинами конденсатора Поскольку через жидкость течет ток $I$, на носители тока, а следовательно и на жидкость между пластинами, действует сила Ампера $F_{A} = BId$, которая направлена против движения жидкости. Для равномерного протекания жидкости на нее должна действовать внешняя сила, равная силе Ампера и направленная вдоль скорости течения. Мощность, развиваемая этой силой, равна
$P = F_{A}v = BIdv = \frac{(vBd)^{2} }{R \left ( 1 + \frac{ \rho d}{SR} \right ) }$,
а КПД генератора -
$\eta = \frac{P_{R} }{P} = \frac{1}{1 + \frac{ \rho d}{SR} }$.
Как видно, КПД генератора определяется отношением омических сопротивлений жидкости и резистора. При стремлении этого отношения к нулю КПД стремится к единице.
В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью пластин $S$ и расстоянием $d$ между ними помещен в лоток проводящей жидкости с удельным сопротивлением $\rho$, движущейся с постоянной скоростью $v$ параллельно пластинам. Конденсатор находится в однородном магнитном поле с индукцией, равной $B$ и направленной перпендикулярно плоскости рисунка. Найдите полезную тепловую мощность, которая выделяется на внешней нагрузке в виде резистора сопротивлением $R$. Пренебрегая возможными потерями при про текании жидкости, определите также КПД такого генератора.
Решение:
Рассмотрим вкратце процесс установления стационарного состояния - когда через резистор течет постоянный ток.
Как только проводящая жидкость начинает протекать между обкладками конденсатора, на свободные заряды жидкости со стороны внешнего магнитного поля начинает действовать сила Лоренца. Положительные заряды начинают смещаться к верхней пластине конденсатора, а отрицательные - к нижней Между пластинами конденсатора возникает разность потенциалов, которая приводит к появлению тока через резистор $R$. Одновременно, возникшее электрическое поле начинает препятствовать движению свободных зарядов жидкости к пластинам. В результате через некоторое время устанавливается стационарное состояние заряд, поступающий из жидкости на каждую пластину в единицу времени равен силе тока, протекающего через резистор. Другими словами, в цепи резистора начинает течь постоянный ток. Обозначим его через $I$.
Теперь выясним, чему равна электродвижущая сила, которая поддерживает ток в цепи. По определению, ЭДС равна напряжению на пластинах конденсатора при разомкнутой внешней цепи. Условие отсутствия тока внутри конденсатора имеет вид $E = vB$, где $E$ - напряженность электрического поля. Разность потенциалов между пластинами составляет $\mathcal{E} = Ed = vBd$. Это и есть величина электродвижущей силы, действующей в замкнутой цепи. Можно нарисовать эквивалентную электрическую схему - см рисунок, где $r$ - внутреннее сопротивление источника: $r = \rho \frac{d}{S}$.
Очевидно, что сила тока в такой цепи равна
$I = \frac{ \mathcal{E} }{R + r} = \frac{vBd}{R + \rho \frac{d}{S} }$,
а мощность, выделяемая на резисторе, составляет
$P_{R} = I^{2}R = \frac{(vBd)^{2}R}{ \left ( R + \rho \frac{d}{S} \right )^{2} } = \frac{(vBd)^{2} }{R \left ( 1 + \frac{ \rho d}{SR} \right )^{2} }$.
Для расчета КПД генератора необходимо найти мощность внешних сил, приводящих в действие генератор. Понятно, что работа внешних сил затрачивается на перемещение жидкости между пластинами конденсатора Поскольку через жидкость течет ток $I$, на носители тока, а следовательно и на жидкость между пластинами, действует сила Ампера $F_{A} = BId$, которая направлена против движения жидкости. Для равномерного протекания жидкости на нее должна действовать внешняя сила, равная силе Ампера и направленная вдоль скорости течения. Мощность, развиваемая этой силой, равна
$P = F_{A}v = BIdv = \frac{(vBd)^{2} }{R \left ( 1 + \frac{ \rho d}{SR} \right ) }$,
а КПД генератора -
$\eta = \frac{P_{R} }{P} = \frac{1}{1 + \frac{ \rho d}{SR} }$.
Как видно, КПД генератора определяется отношением омических сопротивлений жидкости и резистора. При стремлении этого отношения к нулю КПД стремится к единице.
