Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15373
2021-07-14 
На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое непроводящее кольцо массой $m$, вдоль которого равномерно распределен заряд $Q$. Кольцо находится во внешнем однородном магнитном поле с индукцией, равной $B_{0}$ и направленной перпендикулярно плоскости кольца. Найдите угловую скорость вращения кольца после выключения магнитного поля.
Решение:
Обозначим радиус кольца через $r$. Спадание величины индукции магнитного поля от $B_{0}$ до нуля может произойти, конечно, и за очень малое время, но реально это всегда будет конечная величина. Пусть в произвольный момент времени (в процессе уменьшения индукции поля) мгновенное значение индукции магнитного поля равно $B(t)$. Изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, силовые линии которого на рисунке изображены красными круговыми линиями (для простоты будем рассматривать симметричное распределение магнитного поля относительно нашего кольца). Одна из силовых линий, очевидно,проходитвдоль нашего кольца. Пусть в рассматриваемый момент величина напряженности вихревого электрического поля на этой силовой линии равна $E_{B}(t)$.
С одной стороны, работа, совершенная вихревым электрическим полем по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура кольца, численно равна ЭДС индукции
$\mathcal{E}_{i} = 2 \pi rE_{B}(t)$.
С другой стороны, согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции в контуре кольца равна
$\mathcal{E}_{i} = - \frac{d \Phi}{dt} = - \pi r^{2} \frac{dB(t)}{dt}$,
где $\Phi$ - магнитный поток, пронизывающий наш контур. Приравнивая два выражения для ЭДС индукции, получим
$E_{B}(t) = - \frac{r}{2} \frac{dB(t)}{dt}$.
На каждый небольшой элемент заряженного кольца будет действовать сила, направленная по касательной к окружности радиусом $r$ и равная
$dF_{j} = E_{B}(t) \frac{Q}{2 \pi r} r d \phi_{j} = - \frac{Q}{ 4 \pi } \frac{dB(t)}{dt} r d \phi_{j}$.
Суммарная сила, действующая в данный момент времени на все кольцо, равна
$F = \sum_{j=1}^{N} dF_{j} = - \frac{Qr}{4 \pi } \frac{dB(t)}{dt} \sum_{j=1}^{N} d \phi_{j} = - \frac{Qr}{2} \frac{dB(t)}{dt}$.
За малое время $\Delta t$ импульс силы, подействовавший на кольцо вдоль окружности, приведет к изменению импульса кольца:
$F \Delta t = m \Delta v$,
откуда получим
$\Delta v = \frac{F}{m} \Delta t = - \frac{Qr}{2m} \Delta B$
(мы учли, что $B^{ \prime}(t) \Delta t = \Delta B$. Малое изменение угловой скорости кольца составляет
$\Delta \omega = \frac{ \Delta v}{r} = - \frac{Q}{2m} \Delta B$.
Такое же соотношение связывает изменения угловой скорости и магнитной индукции за все время. Учитывая, что $\Delta \omega = \omega - 0 = \omega$, а $\Delta B = 0 - B_{0} = - B_{0}$, получаем
$\omega = \frac{QB_{0} }{2m}$.
На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое непроводящее кольцо массой $m$, вдоль которого равномерно распределен заряд $Q$. Кольцо находится во внешнем однородном магнитном поле с индукцией, равной $B_{0}$ и направленной перпендикулярно плоскости кольца. Найдите угловую скорость вращения кольца после выключения магнитного поля.
Решение:
Обозначим радиус кольца через $r$. Спадание величины индукции магнитного поля от $B_{0}$ до нуля может произойти, конечно, и за очень малое время, но реально это всегда будет конечная величина. Пусть в произвольный момент времени (в процессе уменьшения индукции поля) мгновенное значение индукции магнитного поля равно $B(t)$. Изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, силовые линии которого на рисунке изображены красными круговыми линиями (для простоты будем рассматривать симметричное распределение магнитного поля относительно нашего кольца). Одна из силовых линий, очевидно,проходитвдоль нашего кольца. Пусть в рассматриваемый момент величина напряженности вихревого электрического поля на этой силовой линии равна $E_{B}(t)$.
С одной стороны, работа, совершенная вихревым электрическим полем по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура кольца, численно равна ЭДС индукции
$\mathcal{E}_{i} = 2 \pi rE_{B}(t)$.
С другой стороны, согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции в контуре кольца равна
$\mathcal{E}_{i} = - \frac{d \Phi}{dt} = - \pi r^{2} \frac{dB(t)}{dt}$,
где $\Phi$ - магнитный поток, пронизывающий наш контур. Приравнивая два выражения для ЭДС индукции, получим
$E_{B}(t) = - \frac{r}{2} \frac{dB(t)}{dt}$.
На каждый небольшой элемент заряженного кольца будет действовать сила, направленная по касательной к окружности радиусом $r$ и равная
$dF_{j} = E_{B}(t) \frac{Q}{2 \pi r} r d \phi_{j} = - \frac{Q}{ 4 \pi } \frac{dB(t)}{dt} r d \phi_{j}$.
Суммарная сила, действующая в данный момент времени на все кольцо, равна
$F = \sum_{j=1}^{N} dF_{j} = - \frac{Qr}{4 \pi } \frac{dB(t)}{dt} \sum_{j=1}^{N} d \phi_{j} = - \frac{Qr}{2} \frac{dB(t)}{dt}$.
За малое время $\Delta t$ импульс силы, подействовавший на кольцо вдоль окружности, приведет к изменению импульса кольца:
$F \Delta t = m \Delta v$,
откуда получим
$\Delta v = \frac{F}{m} \Delta t = - \frac{Qr}{2m} \Delta B$
(мы учли, что $B^{ \prime}(t) \Delta t = \Delta B$. Малое изменение угловой скорости кольца составляет
$\Delta \omega = \frac{ \Delta v}{r} = - \frac{Q}{2m} \Delta B$.
Такое же соотношение связывает изменения угловой скорости и магнитной индукции за все время. Учитывая, что $\Delta \omega = \omega - 0 = \omega$, а $\Delta B = 0 - B_{0} = - B_{0}$, получаем
$\omega = \frac{QB_{0} }{2m}$.
