Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15372
2021-07-14 
Три одинаковых одноименно заряженных шарика, каждый с зарядом $q$ и массой $m$, связаны нерастяжимыми нитями длиной $L$ каждая. Все три шарика неподвижны и расположены на гладкой горизонтальной поверхности. Одна из нитей пережигается Какие скорости будут у шариков в тот момент, когда они будут располагаться на одной прямой? Радиус шариков мал по сравнению с длиной нити.
Решение:
В начальный момент шарики расположены в вершинах равностороннего треугольника с длиной каждой стороны $L$ (рис.). Шарики неподвижны, поэтому их полная кинетическая
энергия равна нулю:
$W_{k1} = 0$.
Потенциальная энергия электростатического взаимодействия составляет
$W_{p1} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}L } + \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}L } + \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}L } = \frac{3q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}L }$.
(В этом выражении каждый член соот-ветствуетэнергии взаимодействия пары зарядов, а всего таких пар три.) Поскольку нить нерастяжима, энергия упругих деформаций равна нулю. Итак, в исходном состоянии полная энергия системы составляет $W_{p1}$, а импульс системы равен нулю.
После пережигания нити (например, между шариками 1 и 2) центр масс шариков остается неподвижным, и когда шарики будут располагаться на одной прямой, шарик 3 будет находиться в центре масс нашей системы Действительно, как до пережигания нити, так и после пережигания между шариками действуют только внутренние силы (замкнутая система), атак как начальная скорость центра масс была равна нулю, то центр масс системы будет оставаться неподвижным.
Пусть в тот момент, когда шарики расположены на одной прямой, скорость шарика 3 равна $u$, а скорости двух других шариков равны $v$ (в силу симметрии, скорости шариков 1 и 2 одинаковы). По закону сохранения импульса,
$mu - 2mv = 0$, или $u = 2v$.
Кинетическая энергия шариков в этот момент равна
$W_{k2} = \frac{mu^{2} }{2} + 2 \frac{mv^{2} }{2} = 3mv^{2}$.
Новая потенциальная энергия электростатического взаимодействия составляет
$W_{p2} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L} + \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L} + \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}L } = \frac{5q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}L }$.
Закон сохранения полной энергии системы позволяет записать
$W_{k1} + W_{p1} = W_{k2} + W_{p2}$,
или
$\frac{3q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}L } = 3mv^{2} + \frac{5q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}L }$.
Отсюда находим скорость шариков 1 и 2:
$v = \frac{q}{2 \sqrt{6 \pi \epsilon_{0}mL } }$
и скорость шарика 3:
$u = \frac{q}{ \sqrt{6 \pi \epsilon_{0}mL } }$.
Три одинаковых одноименно заряженных шарика, каждый с зарядом $q$ и массой $m$, связаны нерастяжимыми нитями длиной $L$ каждая. Все три шарика неподвижны и расположены на гладкой горизонтальной поверхности. Одна из нитей пережигается Какие скорости будут у шариков в тот момент, когда они будут располагаться на одной прямой? Радиус шариков мал по сравнению с длиной нити.
Решение:
В начальный момент шарики расположены в вершинах равностороннего треугольника с длиной каждой стороны $L$ (рис.). Шарики неподвижны, поэтому их полная кинетическая
энергия равна нулю:
$W_{k1} = 0$.
Потенциальная энергия электростатического взаимодействия составляет
$W_{p1} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}L } + \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}L } + \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}L } = \frac{3q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}L }$.
(В этом выражении каждый член соот-ветствуетэнергии взаимодействия пары зарядов, а всего таких пар три.) Поскольку нить нерастяжима, энергия упругих деформаций равна нулю. Итак, в исходном состоянии полная энергия системы составляет $W_{p1}$, а импульс системы равен нулю.
После пережигания нити (например, между шариками 1 и 2) центр масс шариков остается неподвижным, и когда шарики будут располагаться на одной прямой, шарик 3 будет находиться в центре масс нашей системы Действительно, как до пережигания нити, так и после пережигания между шариками действуют только внутренние силы (замкнутая система), атак как начальная скорость центра масс была равна нулю, то центр масс системы будет оставаться неподвижным.
Пусть в тот момент, когда шарики расположены на одной прямой, скорость шарика 3 равна $u$, а скорости двух других шариков равны $v$ (в силу симметрии, скорости шариков 1 и 2 одинаковы). По закону сохранения импульса,
$mu - 2mv = 0$, или $u = 2v$.
Кинетическая энергия шариков в этот момент равна
$W_{k2} = \frac{mu^{2} }{2} + 2 \frac{mv^{2} }{2} = 3mv^{2}$.
Новая потенциальная энергия электростатического взаимодействия составляет
$W_{p2} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L} + \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L} + \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}L } = \frac{5q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}L }$.
Закон сохранения полной энергии системы позволяет записать
$W_{k1} + W_{p1} = W_{k2} + W_{p2}$,
или
$\frac{3q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}L } = 3mv^{2} + \frac{5q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}L }$.
Отсюда находим скорость шариков 1 и 2:
$v = \frac{q}{2 \sqrt{6 \pi \epsilon_{0}mL } }$
и скорость шарика 3:
$u = \frac{q}{ \sqrt{6 \pi \epsilon_{0}mL } }$.
