Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15358
2021-07-14 
Определите, какую минимальную дополнительную скорость необходимо кратковременно сообщить спутнику Земли, движущемуся по очень высокой круговой орбите, чтобы он смог достичь Марса. Орбиты Земли и Марса считать круговыми, радиус орбиты Земли равен $R_{зс} = 1,5 \cdot 10^{8} км$, а радиус орбиты Марса $R_{МС}$ в 1,52 раза больше, чем у Земли.
Решение:
«Очень высокая круговая орбита» означает, что радиус орбиты спутника много больше радиуса Земли и что скоростью, которой обладает спутник относительно Земли, можно пренебречь Но, оставаясь спутником Земли он движется вместе с Землей относительно Солнца по круговой орбите со скоростью
$V = \sqrt{ \frac{GM_{с} }{R_{зс} } } \approx \frac{2 \pi R_{зс} }{T} = 30 км/с$,
где $M$ - масса Солнца, $T$ - время обращения Земли вокруг Солнца. Если мы будем добавлять спутнику скорость вдоль направления скорости Земли, то он будет двигаться по эллиптическим орбитам, большая ось которых больше диаметра орбиты Земли и растет по мере увеличения добавочной скорости. Очевидно, что цель будет достигнута когда точка максимального удаления спутника достигнет круговой орбиты Марса. Такая траектория (полуэллипс) показана на рисунке штриховой линией, большая ось орбиты равна $2a = R_{зс} + R_{мс}$.
Полная энергия спутника массой $m$ на данной орбите составляет
$E = \frac{m(V + v)^{2}}{2} - G \frac{mM_{с} }{R_{зс} } = \frac{m(V + v)^{2}}{2} - mV^{2} = \frac{m(v^{2} + 2Vv - V^{2} )}{2}$.
Используем связь между большой осью эллипса и полной энергией спутника:
$R_{зс} + R_{мс} = \frac{2GM_{с} }{V^{2} - 2Vv - v^{2} } = \frac{2V^{2}R_{зс} }{V^{2} - 2Vv - v^{2} }$.
После простых преобразований, относительно добавочной скорости $v$ получим квадратное уравнение
$v^{2} + 2Vv - \frac{ (R_{мс} - R_{зс} )V^{2} }{R_{мс} + R_{зс} } = 0$,
которое имеет два корня:
$v_{1} = V \left ( \sqrt{ \frac{2R_{мс} }{ R_{мс} + R_{зс} } } - 1 \right ) = 2,95 км/с$,
$v_{2} = - V \left ( 1 + \sqrt{ \frac{2R_{мс} }{ R_{мс} + R_{зс} } } \right ) = -62,95 км/с$.
Нашему случаю соответствует первый корень, а второй корень отвечает случаю, когда дополнительная скорость будет направлена в противоположную сторону.
Определите, какую минимальную дополнительную скорость необходимо кратковременно сообщить спутнику Земли, движущемуся по очень высокой круговой орбите, чтобы он смог достичь Марса. Орбиты Земли и Марса считать круговыми, радиус орбиты Земли равен $R_{зс} = 1,5 \cdot 10^{8} км$, а радиус орбиты Марса $R_{МС}$ в 1,52 раза больше, чем у Земли.
Решение:
«Очень высокая круговая орбита» означает, что радиус орбиты спутника много больше радиуса Земли и что скоростью, которой обладает спутник относительно Земли, можно пренебречь Но, оставаясь спутником Земли он движется вместе с Землей относительно Солнца по круговой орбите со скоростью
$V = \sqrt{ \frac{GM_{с} }{R_{зс} } } \approx \frac{2 \pi R_{зс} }{T} = 30 км/с$,
где $M$ - масса Солнца, $T$ - время обращения Земли вокруг Солнца. Если мы будем добавлять спутнику скорость вдоль направления скорости Земли, то он будет двигаться по эллиптическим орбитам, большая ось которых больше диаметра орбиты Земли и растет по мере увеличения добавочной скорости. Очевидно, что цель будет достигнута когда точка максимального удаления спутника достигнет круговой орбиты Марса. Такая траектория (полуэллипс) показана на рисунке штриховой линией, большая ось орбиты равна $2a = R_{зс} + R_{мс}$.
Полная энергия спутника массой $m$ на данной орбите составляет
$E = \frac{m(V + v)^{2}}{2} - G \frac{mM_{с} }{R_{зс} } = \frac{m(V + v)^{2}}{2} - mV^{2} = \frac{m(v^{2} + 2Vv - V^{2} )}{2}$.
Используем связь между большой осью эллипса и полной энергией спутника:
$R_{зс} + R_{мс} = \frac{2GM_{с} }{V^{2} - 2Vv - v^{2} } = \frac{2V^{2}R_{зс} }{V^{2} - 2Vv - v^{2} }$.
После простых преобразований, относительно добавочной скорости $v$ получим квадратное уравнение
$v^{2} + 2Vv - \frac{ (R_{мс} - R_{зс} )V^{2} }{R_{мс} + R_{зс} } = 0$,
которое имеет два корня:
$v_{1} = V \left ( \sqrt{ \frac{2R_{мс} }{ R_{мс} + R_{зс} } } - 1 \right ) = 2,95 км/с$,
$v_{2} = - V \left ( 1 + \sqrt{ \frac{2R_{мс} }{ R_{мс} + R_{зс} } } \right ) = -62,95 км/с$.
Нашему случаю соответствует первый корень, а второй корень отвечает случаю, когда дополнительная скорость будет направлена в противоположную сторону.
