Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15357
2021-07-14 
Космический корабль дви жется вокруг Земли по эллиптической орбите, большая ось которой равна $2a$. Центр Земли расположен в фокусе эллипса $F_{1}$ (рис.). В тот момент, когда корабль находится в точке максимального удаления и расстояние от центра Земли до корабля равно $r_{2}$, на короткое время включается двигатель. Как надо изменить скорость корабля в этой точке, чтобы он стал двигаться по круговой орбите радиусом $r_{2}$? Считать известивши ускорение свободного падения $g$ на поверхности Земли и радиус Земли $R_{з}$.
Решение:
Поскольку речь идет о переходе на круговую орбиту, новая скорость ко раб ля должна быть перпендикулярна радиусу-вектору, соединяющему центр Земли и центр масс корабля, а следовательно, и вектор изменения скорости корабля должен быть направлен вдоль скорости корабля перед включением двигателя. Вычислим теперь величину и знак изменения скорости.
Величина скорости $v_{0}$, которую должен иметь корабль на круговой орбите радиусом $r_{2}$, находится из уравнения движения корабля $\frac{v_{0}^{2}}{r_{2}} = \frac{GM_{з}}{r_{2}^{2} }$, где $M_{з}$ - масса Земли. Отсюда
$v_{0} = \sqrt{G \frac{M_{з} }{r_{2} } } = \sqrt{ R_{з} g \frac{R_{з} }{r_{2} } }$.
Скорость корабля $v_{A}$ в точке А до включения двигателя можно найти из соотношения между большой осью эллиптической орбиты и полной энергией корабля (см. задачу 3) Для нашего случая эта связь имеет вид
$\frac{mv_{A}^{2}}{2} - G \frac{mM_{з} }{r_{2} } = - G \frac{mM_{з} }{2a}$,
откуда
$v_{A} = \sqrt{G \frac{M_{з} }{r_{2} } \left ( 2 - \frac{r_{2} }{a} \right ) } = v_{0} \sqrt{2 - \frac{r_{2} }{a} }$.
Поскольку $r_{2} > a$, то $v_{A} < v_{0}$. Следовательно, для перехода на круговую орбиту необходимо увеличить скорость на величину
$\Delta v = v_{0} - v_{A} = \sqrt{R_{з}g \frac{R_{з} }{r_{2} } } \left ( 1 - \sqrt{2 - \frac{r_{2} }{a} } \right )$.
Космический корабль дви жется вокруг Земли по эллиптической орбите, большая ось которой равна $2a$. Центр Земли расположен в фокусе эллипса $F_{1}$ (рис.). В тот момент, когда корабль находится в точке максимального удаления и расстояние от центра Земли до корабля равно $r_{2}$, на короткое время включается двигатель. Как надо изменить скорость корабля в этой точке, чтобы он стал двигаться по круговой орбите радиусом $r_{2}$? Считать известивши ускорение свободного падения $g$ на поверхности Земли и радиус Земли $R_{з}$.
Решение:
Поскольку речь идет о переходе на круговую орбиту, новая скорость ко раб ля должна быть перпендикулярна радиусу-вектору, соединяющему центр Земли и центр масс корабля, а следовательно, и вектор изменения скорости корабля должен быть направлен вдоль скорости корабля перед включением двигателя. Вычислим теперь величину и знак изменения скорости.
Величина скорости $v_{0}$, которую должен иметь корабль на круговой орбите радиусом $r_{2}$, находится из уравнения движения корабля $\frac{v_{0}^{2}}{r_{2}} = \frac{GM_{з}}{r_{2}^{2} }$, где $M_{з}$ - масса Земли. Отсюда
$v_{0} = \sqrt{G \frac{M_{з} }{r_{2} } } = \sqrt{ R_{з} g \frac{R_{з} }{r_{2} } }$.
Скорость корабля $v_{A}$ в точке А до включения двигателя можно найти из соотношения между большой осью эллиптической орбиты и полной энергией корабля (см. задачу 3) Для нашего случая эта связь имеет вид
$\frac{mv_{A}^{2}}{2} - G \frac{mM_{з} }{r_{2} } = - G \frac{mM_{з} }{2a}$,
откуда
$v_{A} = \sqrt{G \frac{M_{з} }{r_{2} } \left ( 2 - \frac{r_{2} }{a} \right ) } = v_{0} \sqrt{2 - \frac{r_{2} }{a} }$.
Поскольку $r_{2} > a$, то $v_{A} < v_{0}$. Следовательно, для перехода на круговую орбиту необходимо увеличить скорость на величину
$\Delta v = v_{0} - v_{A} = \sqrt{R_{з}g \frac{R_{з} }{r_{2} } } \left ( 1 - \sqrt{2 - \frac{r_{2} }{a} } \right )$.
