Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15356
2021-07-14 
Для спутников движущихся вокруг Земли по эллиптическим орбитам, выразите длину большой оси эллипса через полную энергию спутника $E$ (кинетическая плюс потенциальная).
Решение:
Рассмотрим эллиптическую орбиту спутника, изображенную на рисунке.
Пусть в одном из фокусов эллипса находится Земля (например, в $F_{1}$). Тогда точка А (афелий) соответствует максимальному удалению спутника от Земли, а точка $\Pi$ (перигелий) является точкой минимального удаления. Длину отрезка $\Pi F_{1$}$ обозначим через $r_{1}$, а длину отрезка $F_{1}A$ - через $r_{2}$. В этих обозначениях длина большой оси равна $2a = r_{1} + r_{2}$.
Запишем полную энергию спутника для точки $\Pi$:
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} - \frac{GmM_{з} }{r_{1} } = E$,
где $m$ - масса спутника, $v_{1}$ - его скорость a $M_{з}$ - масса Земли. Воспользуемся вторым законом Кеплера (законом площадей): радиус-вектор спутника в равные промежутки времени описывает равные площади. Из этого закона для точек орбиты спутника А и $\Pi$ можно записать
$v_{1}r_{1} = v_{2}r_{2}$.
Обозначим это произведение через $L$. Выражая $v_{1}$ через $L$ и подставляя в выражение для полной энергии, получим относительно $r_{1}$ квадратное уравнение
$r_{1}^{2} + G \frac{mM_{з} }{E} r_{1} - \frac{mL^{2} }{2E} = 0$.
Это уравнение имеет два решения которые соответствуют нашим двум точкам А и $\Pi$ (поскольку коэффициент при $r_{1}$ и свободный член данного уравнения одинаковы для этих точек) Поэтому получаем
$r_{1} = - G \frac{mM_{з} }{2E} - \sqrt{ \left ( G \frac{mM_{з} }{2E } \right )^{2} + \frac{mL^{2} }{2E} }$,
$r_{2} = - G \frac{mM_{з} }{2E} + \sqrt{ \left ( G \frac{mM_{з} }{2E } \right )^{2} + \frac{mL^{2} }{2E} }$.
Отсюда находим большую ось эллиптической орбиты спутника:
$2a = r_{1} + r_{2} = -G \frac{mM_{з} }{E}$.
Следует напомнить, что полная энергия $E$ величина отрицательная - полная энергия при финитном движении всегда является отрицательной величиной.
Обсудим физический смысл полученного соотношения. При фиксированном значении полной энергии спутник может двигаться по большому семейству эллиптических орбит, но все эти орбиты будут иметь одну и ту же большую ось А если мы знаем величн ну большой оси эллипса орбиты спутника то мы однозначно можем вычислить полную энергию спутника. Естественно, что полученная связь имеет место не только для спутников Земли, но и для орбит планет Солнечной системы, для спутников других планет - главное чтобы это были спутники, т.е. тела, масса которых много меньше массы тела, вокруг которого они вращаются.
Для спутников движущихся вокруг Земли по эллиптическим орбитам, выразите длину большой оси эллипса через полную энергию спутника $E$ (кинетическая плюс потенциальная).
Решение:
Рассмотрим эллиптическую орбиту спутника, изображенную на рисунке.
Пусть в одном из фокусов эллипса находится Земля (например, в $F_{1}$). Тогда точка А (афелий) соответствует максимальному удалению спутника от Земли, а точка $\Pi$ (перигелий) является точкой минимального удаления. Длину отрезка $\Pi F_{1$}$ обозначим через $r_{1}$, а длину отрезка $F_{1}A$ - через $r_{2}$. В этих обозначениях длина большой оси равна $2a = r_{1} + r_{2}$.
Запишем полную энергию спутника для точки $\Pi$:
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} - \frac{GmM_{з} }{r_{1} } = E$,
где $m$ - масса спутника, $v_{1}$ - его скорость a $M_{з}$ - масса Земли. Воспользуемся вторым законом Кеплера (законом площадей): радиус-вектор спутника в равные промежутки времени описывает равные площади. Из этого закона для точек орбиты спутника А и $\Pi$ можно записать
$v_{1}r_{1} = v_{2}r_{2}$.
Обозначим это произведение через $L$. Выражая $v_{1}$ через $L$ и подставляя в выражение для полной энергии, получим относительно $r_{1}$ квадратное уравнение
$r_{1}^{2} + G \frac{mM_{з} }{E} r_{1} - \frac{mL^{2} }{2E} = 0$.
Это уравнение имеет два решения которые соответствуют нашим двум точкам А и $\Pi$ (поскольку коэффициент при $r_{1}$ и свободный член данного уравнения одинаковы для этих точек) Поэтому получаем
$r_{1} = - G \frac{mM_{з} }{2E} - \sqrt{ \left ( G \frac{mM_{з} }{2E } \right )^{2} + \frac{mL^{2} }{2E} }$,
$r_{2} = - G \frac{mM_{з} }{2E} + \sqrt{ \left ( G \frac{mM_{з} }{2E } \right )^{2} + \frac{mL^{2} }{2E} }$.
Отсюда находим большую ось эллиптической орбиты спутника:
$2a = r_{1} + r_{2} = -G \frac{mM_{з} }{E}$.
Следует напомнить, что полная энергия $E$ величина отрицательная - полная энергия при финитном движении всегда является отрицательной величиной.
Обсудим физический смысл полученного соотношения. При фиксированном значении полной энергии спутник может двигаться по большому семейству эллиптических орбит, но все эти орбиты будут иметь одну и ту же большую ось А если мы знаем величн ну большой оси эллипса орбиты спутника то мы однозначно можем вычислить полную энергию спутника. Естественно, что полученная связь имеет место не только для спутников Земли, но и для орбит планет Солнечной системы, для спутников других планет - главное чтобы это были спутники, т.е. тела, масса которых много меньше массы тела, вокруг которого они вращаются.
