Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15355
2021-07-14 
Вторая космическая скорость для некоторой планеты равна $v = 12 км/с$. Найдите минимальную величину второй космической скорости для такой же планеты, но с полостью, заполненной веществом с плотностъю в $\beta - 2$ раза больше плотности планеты (рис.). Отношение радиуса полости к радиусу планеты $\alpha - \frac{1}{2}$.
Решение:
Вторая космическая скорость для планеты соответствует скорости тела на поверхности планеты, при которой полная энергия тела равна нулю. Для однородной планеты массой $M$ и радиусом $R$ это условие имеет вид
$\frac{v^{2} }{2} - G \frac{M}{R} = 0$.
В случае неоднородной планеты плотность вещества, заполняющего полость, равна $\rho = \frac{3 \beta M}{4 \pi R^{3} }$. Будем рассматривать эту полость как суперпозицию двух полостей, одна из которых заполнена веществом плотностью $\rho_{0} = \frac{3M}{4 \pi R^{3} }$, а другая - плотностью $\rho_{1} = \frac{3( \beta - 1)M}{4 \pi R^{3} }$. Очевидно, что потенциальная энергия тела на поверхности такой планеты будет равна сумме потенциальных энергий однородной планеты и шара с радиусом полости и плотностью $\rho_{1}$.
Минимальная величина второй космической скорости будет в той точке поверхности планеты, где потенциальная энергия минимальна по абсолютной величине. Этой точкой будет точка А (см. рис.) Обозначим для нее величину второй космической скорости через $v_{1}$, тогда условие равенства нулю полной энергии тела в точке А будет иметь вид
$\frac{v_{1}^{2} }{2} - G \frac{M}{R} - G \frac{ \alpha^{3} ( \beta - 1)M }{( \alpha + 1)R} = 0$,
или, после подстановки численных значений $\alpha$ и $\beta$,
$v_{1}^{2} - \frac{13}{6} G \frac{M}{R} = v_{1}^{2} - \frac{13}{12} v^{2} = 0$.
Отсюда получаем
$v_{1} = \sqrt{ \frac{13}{12} } v = 12,5 км/с$.
Вторая космическая скорость для некоторой планеты равна $v = 12 км/с$. Найдите минимальную величину второй космической скорости для такой же планеты, но с полостью, заполненной веществом с плотностъю в $\beta - 2$ раза больше плотности планеты (рис.). Отношение радиуса полости к радиусу планеты $\alpha - \frac{1}{2}$.
Решение:
Вторая космическая скорость для планеты соответствует скорости тела на поверхности планеты, при которой полная энергия тела равна нулю. Для однородной планеты массой $M$ и радиусом $R$ это условие имеет вид
$\frac{v^{2} }{2} - G \frac{M}{R} = 0$.
В случае неоднородной планеты плотность вещества, заполняющего полость, равна $\rho = \frac{3 \beta M}{4 \pi R^{3} }$. Будем рассматривать эту полость как суперпозицию двух полостей, одна из которых заполнена веществом плотностью $\rho_{0} = \frac{3M}{4 \pi R^{3} }$, а другая - плотностью $\rho_{1} = \frac{3( \beta - 1)M}{4 \pi R^{3} }$. Очевидно, что потенциальная энергия тела на поверхности такой планеты будет равна сумме потенциальных энергий однородной планеты и шара с радиусом полости и плотностью $\rho_{1}$.
Минимальная величина второй космической скорости будет в той точке поверхности планеты, где потенциальная энергия минимальна по абсолютной величине. Этой точкой будет точка А (см. рис.) Обозначим для нее величину второй космической скорости через $v_{1}$, тогда условие равенства нулю полной энергии тела в точке А будет иметь вид
$\frac{v_{1}^{2} }{2} - G \frac{M}{R} - G \frac{ \alpha^{3} ( \beta - 1)M }{( \alpha + 1)R} = 0$,
или, после подстановки численных значений $\alpha$ и $\beta$,
$v_{1}^{2} - \frac{13}{6} G \frac{M}{R} = v_{1}^{2} - \frac{13}{12} v^{2} = 0$.
Отсюда получаем
$v_{1} = \sqrt{ \frac{13}{12} } v = 12,5 км/с$.
