2021-07-09
Легкий стержень может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину. К концам стержня прикреплены небольшие тела массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Стержень удерживают в горизонтальном положении. Какие ускорения возникнут у каждого из тел сразу (в первый момент) после того, как стерженъ отпустят и у него появится возможность вращаться вокруг оси? Найдите также величину силы давления оси на стержень в этот момент времени.
Решение:
На рисунке показаны силы, действующие на стержень и на каждое из прикрепленных к нему тел в интересующий нас момент времени. Запишем уравнения движения для тел массами $m_{1}$ и $m_{2}$ в проекции на ось X:
$m_{1}a_{1x} = m_{1}g - F_{1}$,
$m_{2}a_{2x} = m_{2}g - F_{2}$.
Уравнение моментов для стержня, с учетом равенства расстояний от каждого из тел до оси вращения и невесомости стержня, приводит к равенству
$F_{1} = F_{2}$.
Равноудаленность тел от оси вращения и недеформируемость стержня делают справедливым соотношение
$a_{1x} = -a_{2х}$.
Второй закон Ньютона, примененный к легкому стержню, дает равенство
$F = F_{1} + F_{2}$.
Решая систему записанных пяти уравнений, находим все искомые величины:
$a_{1x} = - a_{2x} = \frac{m_{1} - m_{2} }{m_{1} + m_{2} } g$,
$F = \frac{4m_{1}m_{2}g }{m_{1} + m_{2} }$.