Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15353
2021-07-09 
Два небольших проводящих шарика радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$, заряженные до потенциалов $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ соответственно, находятся далеко друг от друга. Сколько тепла выделится через достаточно большое время после соединения шариков друг с другом длинной проволокой?
Решение:
Будем считать известным, что потенциал $\phi$ заряженного шарика связан с его зарядом $q$ формулой
$\phi = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R }$,
где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Закон сохранения заряда для рассматриваемого процесса соединения шариков запишем в виде
$4 \pi \epsilon_{0}R_{1} \phi_{1} + 4 \pi \epsilon_{0}R_{2} \phi_{2} = 4 \pi \epsilon_{0}R_{1} \phi + 4 \pi \epsilon_{0}R_{2} \phi$,
где $\phi$ - окончательный потенциал шариков и соединяющей их проволоки. Рассматривая шарик как конденсатор (второй обкладкой служит концентрическая с шариком сфера бесконечного радиуса) емкостью $4 \pi \epsilon_{0}R$, можно подсчитать энергию шарика, заряженного до потенциала $\phi$, по формуле $\frac{C \phi^{2}}{2}$ (потенциал в бесконечности принят за ноль). С учетом этих соображений, закон сохранения энергии перепишем так:
$\frac{4 \pi \epsilon_{0}R_{1} \phi_{1}^{2}}{2} + \frac{4 \pi \epsilon_{)} R_{2} \phi_{2}^{2} }{2} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} R_{1} \phi^{2} }{2} + \frac{4 \pi \epsilon_{0}R_{2} \phi^{2} }{2} + Q$.
Отсюда и из закона сохранения заряда после простых преобразований находим выделившееся количество теплоты:
$Q = \frac{1}{2} 4 \pi \epsilon_{0} \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} } ( \phi_{1} - \phi_{2} )^{2}$.
Два небольших проводящих шарика радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$, заряженные до потенциалов $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ соответственно, находятся далеко друг от друга. Сколько тепла выделится через достаточно большое время после соединения шариков друг с другом длинной проволокой?
Решение:
Будем считать известным, что потенциал $\phi$ заряженного шарика связан с его зарядом $q$ формулой
$\phi = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R }$,
где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Закон сохранения заряда для рассматриваемого процесса соединения шариков запишем в виде
$4 \pi \epsilon_{0}R_{1} \phi_{1} + 4 \pi \epsilon_{0}R_{2} \phi_{2} = 4 \pi \epsilon_{0}R_{1} \phi + 4 \pi \epsilon_{0}R_{2} \phi$,
где $\phi$ - окончательный потенциал шариков и соединяющей их проволоки. Рассматривая шарик как конденсатор (второй обкладкой служит концентрическая с шариком сфера бесконечного радиуса) емкостью $4 \pi \epsilon_{0}R$, можно подсчитать энергию шарика, заряженного до потенциала $\phi$, по формуле $\frac{C \phi^{2}}{2}$ (потенциал в бесконечности принят за ноль). С учетом этих соображений, закон сохранения энергии перепишем так:
$\frac{4 \pi \epsilon_{0}R_{1} \phi_{1}^{2}}{2} + \frac{4 \pi \epsilon_{)} R_{2} \phi_{2}^{2} }{2} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} R_{1} \phi^{2} }{2} + \frac{4 \pi \epsilon_{0}R_{2} \phi^{2} }{2} + Q$.
Отсюда и из закона сохранения заряда после простых преобразований находим выделившееся количество теплоты:
$Q = \frac{1}{2} 4 \pi \epsilon_{0} \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} } ( \phi_{1} - \phi_{2} )^{2}$.
