2021-07-09
Тонкое проводнике кольцо радиусом $R$, по которому течет ток $I$, расположено в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, причем вектор поля перпендикулярен плоскости кольца. Найдите величину силы натяжения, возникающей в кольце.
Решение:
На рисунке выделен элементарный участок кольца длиной $R \cdot 2 \Delta \alpha$ с током $I$ в магнитном поле, причем вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен к читателю. В соответствии с законом Ампера, участок испытывает со стороны магнитного поля действие силы, равной $\Delta F = I(R \cdot 2 \Delta \alpha ) B$ и направленной так, как показано на рисунке. Обратим внимание на то, что закон Ампера применим только к прямолинейному отрезку проводника с током, так что мы должны потребовать, чтобы угол $\Delta \alpha$ был мал. Учитывая, что выделенный участок кольца покоится, из второго закона Ньютона в проекции на радиальное направление имеем
$0 = 2T \Delta \alpha - I(R \cdot 2 \Delta \alpha )B$.
откуда
$T = IRB$.
По-видимому, родственный характер явлений, рассматриваемых в задачах 15349 и 15350, не так очевиден, как в задачах 15347 и 15348, но структура решений двух последних задач делает их близкими.
Аналогию, обнаруживаемую при сравнении рисунков, можно усилить, если задачу 15349 решать в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вокруг центра обруча, так что в этой системе обруч покоится. Тогда кроме сил натяжения, показанных на рисунке. на участок обруча будет действовать еще центробежная сила инерции $\Delta F_{ \rightarrow}$, направленная против вектора ускорения а и равная по величине $\Delta ma$, т.е.
$\left ( \frac{m}{2 \pi R} R \cdot 2 \Delta \alpha \right ) \frac{(2 \pi Rn)^{2} }{R}$.
Картина сил качественно совпадает с показанной на рисунке. Более того, как и в задаче 15350, соответствующий участок обруча теперь покоится. Таким образом, сменив систему отсчета, мы усилили аналогию.
Сравнивая ответы в задачах 15349 и 15350, можно также обнаружить некие соответствия: совсем понятное $R \leftrightarrow R$, вызывающее сочувствие $nm \leftrightarrow I$ и загадочное $2 \pi n \leftrightarrow B$.