Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1535
2016-12-11 
Равномерно заряженная сфера радиуса $R_{1}$ окружена слоем диэлектрика, внешний радиус которого $R_{2}$. Заряд сферы равен $+Q$, диэлектрическая проницаемость материала слоя $\epsilon$. Нарисовать график зависимости напряженности и потенциала электрического поля от расстояния до центра сферы и вычислить поверхностную плотность зарядов диэлектрика.
Решение:
Обозначим заряд, индуцируемый на внутренней поверхности шарового слоя $-q^{ \prime}$, на внешней — $+ q^{ \prime}$. Поскольку диэлектрик полностью заполняет пространство между двумя эквипотенциалями, напряженность электрического поля в произвольной точке А внутри диэлектрика:
$E = \frac{E_{0}}{ \epsilon}$, (1)
где $E_{0} = \frac{kQ}{r^{2}} (r = OA)$ — электрическое поле в отсутствие диэлектрика.
Согласно принципу суперпозиции:
$E = \frac{k(Q-q^{ \prime})}{r^{2}}$ (2)
(учтено, что вклад зарядов $+q^{ \prime}$ в поле внутри диэлектрика равен нулю). Из (1, 2) получаем:
$q^{ \prime} = \frac{ \epsilon -1 }{ \epsilon} Q$. (3)
При $r > R_{2}$ напряженность и потенциал электрического поля совпадают с напряженностью и потенциалом, создаваемыми зарядами сферы в отсутствие диэлектрика (поля отрицательных $- q^{ \prime}$ и положительных $+ q^{ \prime}$ зарядов на поверхностях диэлектрика взаимно компенсируются):
$E = \frac{kQ}{r^{2}}$ (4)
$ \phi = \frac{kQ}{r}$. (5)
При $R_{1} < r < R_{2}$, то есть внутри слоя диэлектрика, напряженность электрического поля, создаваемая зарядами $+ q^{ \prime}$, равна нулю, то есть
$E = \frac{k}{ \epsilon} \frac{Q}{r^{2}}$, (6)
а потенциал, согласно принципу суперпозиции, складывается из потенциала зарядов $+ Q$, равного $\frac{kQ}{r}$, и потенциала, создаваемого зарядами $+ q^{ \prime}$ и $- q^{ \prime}$, равных соответственно $\frac{kq^{ \prime}}{R_{2}}$ и $- \frac{k q^{ \prime}}{r}$:
$\phi = \frac{k (Q - q^{ \prime})}{r} + \frac{kq^{ \prime}}{R_{2}} = \frac{kQ}{ \epsilon r} + \frac{k( \epsilon - 1)Q}{ \epsilon R_{2}}$. (7)
При $r < R_{1}$ с учетом изложенного, имеем:
$E = 0$ (8)
$\phi = \frac{k(Q - q^{ \prime})}{R_{1}} + \frac{k q^{ \prime}}{R_{2}} = \frac{kQ}{ \epsilon R_{1}} + \frac{k ( \epsilon - 1 )Q}{ \epsilon R_{2}}$. (9)
Соответствующие графики представлены на рисунках.
Равномерно заряженная сфера радиуса $R_{1}$ окружена слоем диэлектрика, внешний радиус которого $R_{2}$. Заряд сферы равен $+Q$, диэлектрическая проницаемость материала слоя $\epsilon$. Нарисовать график зависимости напряженности и потенциала электрического поля от расстояния до центра сферы и вычислить поверхностную плотность зарядов диэлектрика.
Решение:
Обозначим заряд, индуцируемый на внутренней поверхности шарового слоя $-q^{ \prime}$, на внешней — $+ q^{ \prime}$. Поскольку диэлектрик полностью заполняет пространство между двумя эквипотенциалями, напряженность электрического поля в произвольной точке А внутри диэлектрика:
$E = \frac{E_{0}}{ \epsilon}$, (1)
где $E_{0} = \frac{kQ}{r^{2}} (r = OA)$ — электрическое поле в отсутствие диэлектрика.
Согласно принципу суперпозиции:
$E = \frac{k(Q-q^{ \prime})}{r^{2}}$ (2)
(учтено, что вклад зарядов $+q^{ \prime}$ в поле внутри диэлектрика равен нулю). Из (1, 2) получаем:
$q^{ \prime} = \frac{ \epsilon -1 }{ \epsilon} Q$. (3)
При $r > R_{2}$ напряженность и потенциал электрического поля совпадают с напряженностью и потенциалом, создаваемыми зарядами сферы в отсутствие диэлектрика (поля отрицательных $- q^{ \prime}$ и положительных $+ q^{ \prime}$ зарядов на поверхностях диэлектрика взаимно компенсируются):
$E = \frac{kQ}{r^{2}}$ (4)
$ \phi = \frac{kQ}{r}$. (5)
При $R_{1} < r < R_{2}$, то есть внутри слоя диэлектрика, напряженность электрического поля, создаваемая зарядами $+ q^{ \prime}$, равна нулю, то есть
$E = \frac{k}{ \epsilon} \frac{Q}{r^{2}}$, (6)
а потенциал, согласно принципу суперпозиции, складывается из потенциала зарядов $+ Q$, равного $\frac{kQ}{r}$, и потенциала, создаваемого зарядами $+ q^{ \prime}$ и $- q^{ \prime}$, равных соответственно $\frac{kq^{ \prime}}{R_{2}}$ и $- \frac{k q^{ \prime}}{r}$:
$\phi = \frac{k (Q - q^{ \prime})}{r} + \frac{kq^{ \prime}}{R_{2}} = \frac{kQ}{ \epsilon r} + \frac{k( \epsilon - 1)Q}{ \epsilon R_{2}}$. (7)
При $r < R_{1}$ с учетом изложенного, имеем:
$E = 0$ (8)
$\phi = \frac{k(Q - q^{ \prime})}{R_{1}} + \frac{k q^{ \prime}}{R_{2}} = \frac{kQ}{ \epsilon R_{1}} + \frac{k ( \epsilon - 1 )Q}{ \epsilon R_{2}}$. (9)
Соответствующие графики представлены на рисунках.
