Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15342
2021-07-09 
Над идеальным одноатомным газом совершается цикл, имеющий в pV-координатах вид прямоугольника, стороны которого параллельны осям $p$ и $V$ (рис.). Найдите максимальный КПД такого цикла.
Решение:
В данном процессе газ получает тепло на участках АВ и ВС, а отдает тепло на участках CD и DA. Используя первое начало термодинамики и уравнение Менделеева - Клапейрона, найдем полученные количества теплоты:
$Q_{AB} = \frac{3}{2} \nu R (T_{B} - T_{A} ) = \frac{3}{2} (p_{2} - p_{2} )V_{1}$,
$Q_{BC} = \frac{3}{2} \nu R(T_{C} - T_{B} ) + p_{2}(V_{2} - V_{1} ) = \frac{5}{2} p_{2}(V_{2}- V_{1} )$.
Работа, совершаемая газом за цикл, равна
$A = (p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{1})$.
Отсюда для величины $\frac{1}{ \eta}$, где $\eta$ - КПД, имеем
$\frac{1}{ \eta } = \frac{Q_{AB} + Q_{BC} }{A} = \frac{ \frac{3}{2} (p_{2} - p_{1} )V_{1} + \frac{5}{2}p_{2} (V_{2} - V_{1} ) }{(p_{2} - p_{1} )(V_{2} - V_{1} )} = \frac{ \frac{3}{2} (p_{2} - p_{1} )V_{1} + \frac{5}{2}p_{2})(V_{2} - V_{1} ) + p_{1}V_{2} - p_{1}V_{2} + p_{1}V_{1} - p_{1}V_{1} }{(p_{2} - p_{1} )(V_{2} - V_{1} )} = \frac{ \frac{3}{2} \Delta p \Delta V_{1} + \frac{5}{2} \Delta V p_{1} + \frac{5}{2} \Delta p \Delta V }{ \Delta p \Delta V} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \frac{V_{1} }{ \Delta V} + \frac{5}{2} \frac{p_{1} }{ \Delta p}$.
Здесь $\Delta p = p_{2} - p_{1}, \Delta V = V_{2} - V_{1}$. Видно, что максимальное значение КПД (минимальное значение $\frac{1}{ \eta}$) достигается при $V_{1} \ll \Delta V$ и $p_{1} \ll \Delta p$. Графически это означает, что цикл прижимается к началу координат pV-диаграммы. В пределе получаем
$\frac{1}{ \eta } \rightarrow \frac{5}{2}$, и $\eta_{max} = \frac{2}{5}$.
Над идеальным одноатомным газом совершается цикл, имеющий в pV-координатах вид прямоугольника, стороны которого параллельны осям $p$ и $V$ (рис.). Найдите максимальный КПД такого цикла.
Решение:
В данном процессе газ получает тепло на участках АВ и ВС, а отдает тепло на участках CD и DA. Используя первое начало термодинамики и уравнение Менделеева - Клапейрона, найдем полученные количества теплоты:
$Q_{AB} = \frac{3}{2} \nu R (T_{B} - T_{A} ) = \frac{3}{2} (p_{2} - p_{2} )V_{1}$,
$Q_{BC} = \frac{3}{2} \nu R(T_{C} - T_{B} ) + p_{2}(V_{2} - V_{1} ) = \frac{5}{2} p_{2}(V_{2}- V_{1} )$.
Работа, совершаемая газом за цикл, равна
$A = (p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{1})$.
Отсюда для величины $\frac{1}{ \eta}$, где $\eta$ - КПД, имеем
$\frac{1}{ \eta } = \frac{Q_{AB} + Q_{BC} }{A} = \frac{ \frac{3}{2} (p_{2} - p_{1} )V_{1} + \frac{5}{2}p_{2} (V_{2} - V_{1} ) }{(p_{2} - p_{1} )(V_{2} - V_{1} )} = \frac{ \frac{3}{2} (p_{2} - p_{1} )V_{1} + \frac{5}{2}p_{2})(V_{2} - V_{1} ) + p_{1}V_{2} - p_{1}V_{2} + p_{1}V_{1} - p_{1}V_{1} }{(p_{2} - p_{1} )(V_{2} - V_{1} )} = \frac{ \frac{3}{2} \Delta p \Delta V_{1} + \frac{5}{2} \Delta V p_{1} + \frac{5}{2} \Delta p \Delta V }{ \Delta p \Delta V} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \frac{V_{1} }{ \Delta V} + \frac{5}{2} \frac{p_{1} }{ \Delta p}$.
Здесь $\Delta p = p_{2} - p_{1}, \Delta V = V_{2} - V_{1}$. Видно, что максимальное значение КПД (минимальное значение $\frac{1}{ \eta}$) достигается при $V_{1} \ll \Delta V$ и $p_{1} \ll \Delta p$. Графически это означает, что цикл прижимается к началу координат pV-диаграммы. В пределе получаем
$\frac{1}{ \eta } \rightarrow \frac{5}{2}$, и $\eta_{max} = \frac{2}{5}$.
