Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15341
2021-07-09 
Вертикальная U-образная трубка постоянного поперечного сечения жестко закреплена, и в нее налита ртуть. Период малых колебаний ртути в трубке равен $T_{1}$. В правое колено трубки наливают столько воды, что период малых колебаний системы становится равным $T_{2}$. Потом в левое колено наливают спирт в таком количестве, что период малых колебаний становится равным. Каково соотношение масс ртути, воды и спирта? Плотности веществ равны $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $\rho_{3}$ соответственно. Считать, что при колебаниях ни вода, ни спирт не перетекают в соседние колена трубки.
Решение:
Обозначим массы ртути, воды и спирта через $m_{р}, m_{в}$ и $m_{с}$ соответственно. Пусть $S$ - площадь сечения U-образной трубки, а $x$ - смещение ртути от положения равновесия. Тогда уравнение колебаний ртути в трубке будет иметь вид
$m_{р}a = - 2 \rho_{1} gxS$,
откуда для периода колебаний ртути получаем
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{р} }{2 \rho_{1}gS } }$.
Если теперь записать уравнения колебаний для ртути и воды, а затем для ртути, воды и спирта, то получатся аналогичные соотношения, в которых под корнем в числителе будет стоять суммарная масса жидкостей, а знаменатель не изменится, потому что возвращающая сила обусловлена только перетеканием ртути из одного колена в другое. В итоге имеем
$T_{2} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{р} + m_{в} }{ 2 \rho_{1}gS } }, T_{3} = 2 \pi \sqrt{ \frac{ m_{р} + m_{в} + m_{с} }{2 \rho_{1}gS } }$.
Из написанных выражений для периодов находим
$\frac{ T_{2}^{2} }{T_{1}^{2} } = \frac{m_{р} + m_{в} }{m_{р} }$,
$\frac{ T_{3}^{2} }{T_{2}^{2} } = \frac{m_{р} + m_{в} + m_{с} }{m_{р} + m_{в} }$,
откуда после некоторых преобразований получаем
$m_{с} : m_{в} : m_{р} = (T_{3}^{2} - T_{2}^{2}):(T_{2}^{2} - T_{1}^{2}): T_{1}^{2}$.
Вертикальная U-образная трубка постоянного поперечного сечения жестко закреплена, и в нее налита ртуть. Период малых колебаний ртути в трубке равен $T_{1}$. В правое колено трубки наливают столько воды, что период малых колебаний системы становится равным $T_{2}$. Потом в левое колено наливают спирт в таком количестве, что период малых колебаний становится равным. Каково соотношение масс ртути, воды и спирта? Плотности веществ равны $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $\rho_{3}$ соответственно. Считать, что при колебаниях ни вода, ни спирт не перетекают в соседние колена трубки.
Решение:
Обозначим массы ртути, воды и спирта через $m_{р}, m_{в}$ и $m_{с}$ соответственно. Пусть $S$ - площадь сечения U-образной трубки, а $x$ - смещение ртути от положения равновесия. Тогда уравнение колебаний ртути в трубке будет иметь вид
$m_{р}a = - 2 \rho_{1} gxS$,
откуда для периода колебаний ртути получаем
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{р} }{2 \rho_{1}gS } }$.
Если теперь записать уравнения колебаний для ртути и воды, а затем для ртути, воды и спирта, то получатся аналогичные соотношения, в которых под корнем в числителе будет стоять суммарная масса жидкостей, а знаменатель не изменится, потому что возвращающая сила обусловлена только перетеканием ртути из одного колена в другое. В итоге имеем
$T_{2} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{р} + m_{в} }{ 2 \rho_{1}gS } }, T_{3} = 2 \pi \sqrt{ \frac{ m_{р} + m_{в} + m_{с} }{2 \rho_{1}gS } }$.
Из написанных выражений для периодов находим
$\frac{ T_{2}^{2} }{T_{1}^{2} } = \frac{m_{р} + m_{в} }{m_{р} }$,
$\frac{ T_{3}^{2} }{T_{2}^{2} } = \frac{m_{р} + m_{в} + m_{с} }{m_{р} + m_{в} }$,
откуда после некоторых преобразований получаем
$m_{с} : m_{в} : m_{р} = (T_{3}^{2} - T_{2}^{2}):(T_{2}^{2} - T_{1}^{2}): T_{1}^{2}$.
