2021-07-09
Шерлок Холмс и доктор Ватсон переходили Бейкер-стрит. В это время профессор Мориарти а своем кабриолете выехал из бокового переулка и, не притормаживая, помчался по Бейкер-стрнт, чуть не сбив их.
- Холмс, - воскликнул доктор, - этот маньяк катается по Лондону с бешеной скоростью!
- Неправда, Ватсон. Я заметил, что «зайчик» от бокового стекла его авто, освещенного заходящим солнцем, некоторое время оставался вот на том фонарном столбе, в десяти футах от кабриолета. Он не мог ехать быстрее двадцати миль в час!
- Но как Вы догадались, Холмс?
- Элементарно, Ватсон!..
Воспроизведите рассуждения великого сыщика. Учтите, что 1 фут = 0,3 м, а 1 миля = 1,6 км.
Решение:
Поскольку в начале поворота автомобиля солнечный «зайчик» от его бокового стекла попадает в одну точку, боковое стекло движется по некоторой поверхности, фокусирующей лучи Солнца в этой точке. Считая Солнце точечным бесконечно удаленным источником, расположенным на линии горизонта, можно утверждать, что это - поверхность цилиндрического зеркала с фокусным расстоянием 10 фунтов ($\approx$3 метра).
Рассмотрим участок цилиндрического зеркала ОА (рис.). Один луч падает в точку О, проходя через ось цилиндра $R$, и при отражении меняет свое направление на противоположное. Другой луч падает в точку А и после отражения проходит через точку $F$. На рисунке обозначены три равных угла $\alpha$: угол падения, угол отражения и угол между первым лучом и нормалью к цилиндрической поверхности, проведенной из точки падения второго луча. Треугольник AFR - равнобедренный, откуда следует, что расстояние от центра до точки F при малых углах равно половине радиуса. Следовательно, радиус окружности, по которой движется кабриолет, примерно в два раза больше расстояния от точки поворота до столба: у цилиндрического зеркала фокусное расстояние в два раза меньше радиуса его кривизны.
Максимальное центростремительное ускорение, сообщаемое силой трения, не может превосходить $\mu g$, т.е. заведомо меньше ускорения свободного падения. Обозначив скорость
кабриолета через $v$ и предполагая, что кабриолет двигался по окружности радиусом $r = 20$ футов, получим
$g > \mu g = \frac{v^{2} }{r}$, откуда $v < \sqrt{gr} \approx 8 м/с \approx 18 миль/ч$.
Холмс, как всегда, оказался прав!