2021-07-09
На гладкую непроводящую нить длиной $l$ надеты три бусинки с положительными зарядами $q_{1}, q_{2}$ и $q_{3}$. Концы нити соединены. Найдите силу натяжения нити, когда система находится в равновесии.
Решение:
В данной системе заряды могут располагаться либо на одной прямой, либо образовывать вершины треугольника. Случаев равновесия, когда заряды находятся на одной прямой, возможно три - они показаны на рисунке. Все эти случаи реализуются при любых соотношениях между зарядами $q_{1}, q_{2}$ и $q_{3}$, но устойчивым положением равновесия является только один из них - в зависимости от соотношения величин зарядов. Во всех этих случаях нить растягивается силами отталкивания зарядов, причем средний заряд располагается так, чтобы сумма действующих на него сил была равна нулю. Так как нить при этом оказывается сложенной пополам, то расстояние между крайними зарядами равно $l/2$, и на каждый из этих зарядов действует сила электрического отталкивания и удвоенная сила натяжения нити. Из условия равновесия зарядов для каждого из случаев находим силы натяжения нити:
$T_{1} = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}l^{2} } \left ( q_{1}q_{3} + ( \sqrt{q_{1}q_{2} } + \sqrt{q_{2}q_{3} } )^{2} \right )$,
$T_{2} = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}l^{2} } \left ( q_{1}q_{2} + ( \sqrt{q_{1}q_{3} } + \sqrt{q_{2}q_{3} } )^{2} \right )$,
$T_{3} = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}l^{2} } \left ( q_{2}q_{3} + ( \sqrt{q_{1}q_{2} } + \sqrt{q_{1}q_{3} } )^{2} \right )$,
Далее обсудим случай, когда заряды образуют вершины треугольника (рис.). Рассмотрим какой-либо заряд, например $q_{1}$. Сумма сил, действующих на этот заряд, равна нулю (заряд неподвижен). Со стороны нити действуют две одинаковые по модулю силы натяжения $T$, направленные вдоль сторон треугольника. Следовательно, равнодействующая этих сил направлена по биссектрисе соответствующего угла Тогда равнодействующая сил электростатического взаимодействия заряда $q_{1}$ с зарядами $q_{2}$ и $q_{3}$ также должна быть направлена по биссектрисе этого угла, но в другую сторону. А поскольку эти силы тоже направлены вдоль сторон треугольника, то они должны быть равны по модулю между собой и каждая из них должна быть равна $T$. Учитывая сказанное, а также соотношение $l_{1} + l_{2} + l_{3} = l$, получаем систему уравнений
$\begin{cases} q_{1}l_{1}^{2} = q_{2}l_{2}^{2} = q_{3}l_{3}^{2}, \\ l_{1} + l_{2} + l_{3} = l, \end{cases}$
решая которую, находим
$l_{1} = \frac{l}{ \left (1 + \sqrt{ \frac{q_{1} }{q_{2} } } + \sqrt{ \frac{q_{1} }{q_{3} } } \right )}$,
$l_{2} = \frac{l}{ \left (1 + \sqrt{ \frac{q_{2} }{q_{3} } } + \sqrt{ \frac{q_{2} }{q_{1} } } \right )}$,
$l_{3} = \frac{l}{ \left (1 + \sqrt{ \frac{q_{3} }{q_{1} } } + \sqrt{ \frac{q_{3} }{q_{2} } } \right )}$,
Теперь, зная, например, расстояние $l_{1}$ между зарядами $q_{2}$ и $q_{3}$, можно вычислить силу электростатического взаимодействия между ними. Эта сила, как мы уже выяснили, равна силе натяжения нити:
$T_{4} = F_{23} = \frac{q_{2}q_{3} }{4 \pi \epsilon_{0}l_{1}^{2} } = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}l^{2} } ( \sqrt{q_{2}q_{3} } + \sqrt{q_{3}q_{1} } + \sqrt{q_{2}q_{1} } )^{2}$.
Осталось установить, при каком соотношении между величинами зарядов реализуется случай, когда заряды являются вершинами треугольника. По известной теореме сумма двух сторон любого треугольника больше третьей стороны:
$l_{1} + l_{2} > l_{3}, l_{1} + l_{3} > l_{2}, l_{2} + l_{3} > l_{1}$.
Отсюда, используя равенство $l_{1} + l_{2} + l_{3} = l$, получаем
$l_{1} < \frac{l}{2}, l_{2} < \frac{l}{2}, l_{3} < \frac{l}{2}$.
Подставив полученные ранее выражения для $l_{1}, l_{2}$ и $l_{3}$, имеем
$\sqrt{q_{1}q_{3} } + \sqrt{q_{1}q_{2} } > \sqrt{q_{2}q_{3} }$,
$\sqrt{q_{1}q_{2} } + \sqrt{q_{2}q_{3} } > \sqrt{q_{1}q_{3} }$,
$\sqrt{q_{1}q_{3} } + \sqrt{q_{2}q_{3} } > \sqrt{q_{1}q_{2} }$,
т.е. числа $\sqrt{q_{1}q_{3}}, \sqrt{q_{1}q_{2}}$ и $\sqrt{q_{2}q_{3}}$ являются сторонами некоторого треугольника. Значит, расположение зарядов в виде треугольника возможно только при выполнении полученного набора условий. Этот набор можно переписать в виде
$\frac{1}{ \sqrt{q_{3} } } + \frac{1}{ \sqrt{q_{2} } } > \frac{1}{ \sqrt{q_{1} } }$,
$\frac{1}{ \sqrt{q_{2} } } + \frac{1}{ \sqrt{q_{1} } } > \frac{1}{ \sqrt{q_{3} } }$,
$\frac{1}{ \sqrt{q_{3} } } + \frac{1}{ \sqrt{q_{1} } } > \frac{1}{ \sqrt{q_{2} } }$.
Очевидно, что эти условия не выполняются, если один из зарядов существенно меньше остальных. В этом случае заряды будут располагаться на прямой линии, причем маленький заряд будет находиться посредине между большими.