2021-07-09
Известно, что сильный человек может согнуть железную кочергу. Оцените, с какой силой человек должен действовать руками на концы кочерги, если железо имеет предел упругости $\sigma = 3 \cdot 10^{8} Н/м^{2}$, длина кочерги $l = 1 м$, ее сечение - квадрат со стороной $a = 1 см$.
Решение:
Кочерга начинает гнуться тогда, когда напряжение в ее материале превышает предел упругости $\sigma$. При этом слои, находящиеся на внешней стороне дуги изгибаемой кочерги, растягиваются, а находящиеся на внутренней стороне дуги сжимаются. Для оценки момента сил, который надо приложить, чтобы кочерга согнулась, можно считать, что на верхнюю половину сечения кочерги действует растягивающее усилие $\sigma a \frac{a}{2}$, а на нижнюю половину - такое же сжимающее усилие. Тогда момент сил равен
$M = \sigma \frac{a^{2} }{2} \frac{a}{2} = \frac{ \sigma a^{3} }{4}$.
(Более точная оценка получается при учете линейного закона изменения напряжения по сечению.)
Получим теперь оценку для силы. Заметим, что кочергу можно гнуть двумя способами. Первый способ - упираться коленом в середину кочерги, а за ее концы тянуть руками с силой $F$. Тогда изгибающий момент будет равен $M = \frac{Fl}{2}$, откуда
$F = \frac{2M}{l} = \frac{2}{l} \frac{ \sigma a^{3} }{4} = \frac{ \sigma a^{3} }{2l} = 150 Н$.
Это не очень большое усилие.
Второй, более «честный», способ гнуть кочергу - создавать моменты сил только ладонями рук, ничем другим не упираясь в кочергу. Считая, что ширина ладони $L \approx 10 см$, получаем
$F_{1} = \frac{M}{L} \frac{ \sigma a^{3} }{4L} = 750 Н$.
Такое усилие создать пальцами рук достаточно трудно.