Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15336
2021-07-09 
$N$ абсолютно упругих одинаковых шариков лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Одному из них сообщили скорость $v$ в горизонтальном направлении. Испытав ряд столкновений с другими шариками, этот шарик стал двигаться в противоположном направлении. Какова максимально возможная величина конечной скорости шарика, если в каждом столкновении участвуют только два шарика, а $N = 101$?
Решение:
Докажем, что если шарик поворачивает на угол $\alpha < 180^{ \circ} $ за два удара, то при заданной начальной скорости его конечная скорость будет максимальной в том случае, если при каждом ударе он поворачивал на угол $\frac{ \alpha}{2}$.
Пусть до первого удара первый шарик двигался со скоростью $v$. Тогда после удара первый шарик будет двигаться с некоторой скоростью, равной $v_{1}$ и направленной под углом $\phi$ к направлению первоначального движения, а второй шарик, который до удара покоился, будет двигаться со скоростью, равной $v_{2}$ и направленной под углом $\Psi$ к направлению первоначального движения первого шарика. Из закона сохранения импульса для абсолютно упругого удара движущегося шарика о неподвижный имеем
$mv = mv_{1} \cos \phi + mv_{2} \cos \Psi$,
$mv_{1} \sin \phi = mv{2} \sin \Psi$,
причем
$\phi + \Psi = \frac{ \pi}{2}$,
т.е. после абсолютно упругого нецентрального удара движущегося шара о покоящийся скорости разлетающихся шаров направлены под углом $90^{ \circ}$ друг к другу.
Отсюда находим
$v_{1} = v \cos \phi$.
Это означает, что поворот вектора скорости налетающего шара на угол $\phi$ сопровождается уменьшением величины скорости в $\cos \phi$ раз. Значит, после двух последовательных соударений скорость налетающего шарика будет равна $u_{2} = v \cos \phi \cos ( \alpha - \phi )$ (напомним, что шарик поворачивает за два
удара на угол $\alpha$). Для того чтобы скорость шарика после двух ударов была максимальной, необходимо, чтобы было максимальным произведение $\cos \phi \cos ( \alpha - \phi )$. Из известной формулы
$\cos \phi \cos ( \alpha - \phi ) = \frac{1}{2} ( \cos ( \alpha - 2 \phi ) + \cos \alpha ) $
ясно, что это выражение будет иметь максимальное значение при $\cos ( \alpha - 2 \phi ) = 1$, т.е. при $\phi = \frac{ \alpha}{2}$, что и требовалось доказать.
Рассматривая таким же способом каждую пару последовательных ударов, приходим к выводу, что, для того чтобы конечная скорость была максимальной, при каждом ударе налетающий шар должен поворачивать на один и тот же угол $\phi$. Так как по условию после $N - 1 = 100$ соударений этот шар начинает двигаться в противоположном направлении, то $\phi = \frac{ \pi }{N - 1} = \frac{ \pi }{100}$. После сотого соударения шар будет иметь скорость
$u_{100} = v( \cos \phi )^{N - 1} $.
Учитывая малость угла $\phi$, окончательно получим
$u_{100max} = v ( \cos \phi )^{N - 1} = v ( \sqrt{1 - \sin^{2} \phi } )^{N - 1} \approx v ( \sqrt{1 - \phi^{2} } )^{N - 1} \approx v \left ( 1 - \frac{N - 1}{2} \phi^{2} \right ) = v \left ( 1 - \frac{ \pi^{2} }{200} \right ) \approx 0,95v$.
$N$ абсолютно упругих одинаковых шариков лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Одному из них сообщили скорость $v$ в горизонтальном направлении. Испытав ряд столкновений с другими шариками, этот шарик стал двигаться в противоположном направлении. Какова максимально возможная величина конечной скорости шарика, если в каждом столкновении участвуют только два шарика, а $N = 101$?
Решение:
Докажем, что если шарик поворачивает на угол $\alpha < 180^{ \circ} $ за два удара, то при заданной начальной скорости его конечная скорость будет максимальной в том случае, если при каждом ударе он поворачивал на угол $\frac{ \alpha}{2}$.
Пусть до первого удара первый шарик двигался со скоростью $v$. Тогда после удара первый шарик будет двигаться с некоторой скоростью, равной $v_{1}$ и направленной под углом $\phi$ к направлению первоначального движения, а второй шарик, который до удара покоился, будет двигаться со скоростью, равной $v_{2}$ и направленной под углом $\Psi$ к направлению первоначального движения первого шарика. Из закона сохранения импульса для абсолютно упругого удара движущегося шарика о неподвижный имеем
$mv = mv_{1} \cos \phi + mv_{2} \cos \Psi$,
$mv_{1} \sin \phi = mv{2} \sin \Psi$,
причем
$\phi + \Psi = \frac{ \pi}{2}$,
т.е. после абсолютно упругого нецентрального удара движущегося шара о покоящийся скорости разлетающихся шаров направлены под углом $90^{ \circ}$ друг к другу.
Отсюда находим
$v_{1} = v \cos \phi$.
Это означает, что поворот вектора скорости налетающего шара на угол $\phi$ сопровождается уменьшением величины скорости в $\cos \phi$ раз. Значит, после двух последовательных соударений скорость налетающего шарика будет равна $u_{2} = v \cos \phi \cos ( \alpha - \phi )$ (напомним, что шарик поворачивает за два
удара на угол $\alpha$). Для того чтобы скорость шарика после двух ударов была максимальной, необходимо, чтобы было максимальным произведение $\cos \phi \cos ( \alpha - \phi )$. Из известной формулы
$\cos \phi \cos ( \alpha - \phi ) = \frac{1}{2} ( \cos ( \alpha - 2 \phi ) + \cos \alpha ) $
ясно, что это выражение будет иметь максимальное значение при $\cos ( \alpha - 2 \phi ) = 1$, т.е. при $\phi = \frac{ \alpha}{2}$, что и требовалось доказать.
Рассматривая таким же способом каждую пару последовательных ударов, приходим к выводу, что, для того чтобы конечная скорость была максимальной, при каждом ударе налетающий шар должен поворачивать на один и тот же угол $\phi$. Так как по условию после $N - 1 = 100$ соударений этот шар начинает двигаться в противоположном направлении, то $\phi = \frac{ \pi }{N - 1} = \frac{ \pi }{100}$. После сотого соударения шар будет иметь скорость
$u_{100} = v( \cos \phi )^{N - 1} $.
Учитывая малость угла $\phi$, окончательно получим
$u_{100max} = v ( \cos \phi )^{N - 1} = v ( \sqrt{1 - \sin^{2} \phi } )^{N - 1} \approx v ( \sqrt{1 - \phi^{2} } )^{N - 1} \approx v \left ( 1 - \frac{N - 1}{2} \phi^{2} \right ) = v \left ( 1 - \frac{ \pi^{2} }{200} \right ) \approx 0,95v$.
