Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15334
2021-07-09 
Брусок массой $M$ положен на другой такой же брусок с небольшим сдвигом $a$ (рис.). Эта система как целое скользит по гладкому горизонтальному полу со скоростью $v_{0}$. На ее пути стоит вертикальная стена, перпендикулярная направлению вектора скорости и параллельная краям брусков. Удар каждого бруска о стену абсолютно упругий, коэффициент трения между брусками $\mu$. Опишите, как будет происходить столкновение системы со стеной, и определите, какие скорости будут иметь бруски, когда этот процесс окончится.
Решение:
После удара верхнего бруска о стену его скорость изменится на противоположную по направлению, сохранив свой модуль, а скорость нижнего бруска не изменится. Затем бруски начнут двигаться навстречу друг другу с одинаковыми по модулю начальными скоростями и равными по модулю, но противоположно направленными ускорениями. Из-за этого скорости брусков будут уменьшаться, все время оставаясь равными друг другу. В результате нижний брусок либо не достигнет стены, либо все же ударится о нее, имея некоторую скорость $u$. В первом случае оба бруска останутся стоять неподвижно на некотором расстоянии от стены. Во втором случае нижний брусок, ударившись о стену, поменяет направление своей скорости на противоположное, в результате чего проскальзывание между брусками прекратится и оба бруска продолжат движение со скоростью, равной $u$, в направлении от стены. Рассмотрим отдельно оба случая.
Поместим начало координатной оси X в угол между стеной и полом и направим ее в сторону первоначального движения брусков. Ясно, что после первого удара сила трения между
брусками составляет $F_{тр} = \mu Mg$, ускорение нижнего и верхнего брусков по модулю равно $\frac{F_{тр}}{M} = \mu g$. Тогда закон движения передней грани нижнего бруска имеет вид
$x = - a + v_{0}t - \frac{ \mu gt^{2} }{2}$,
а его скорость изменяется по закону
$v = v_{0} - \mu gt$,
при этом время отсчитывается от момента удара верхнего бруска о стену. Найдем условие на скорость $v_{0}$, при которой нижний брусок не доедет до стены (не достигнет координаты $x = 0$). Оно получается из неравенства
$x = - a + v_{0}t - \frac{ \mu gt^{2} }{2} < 0$.
Решая его, находим, что дискриминант квадратного трехчлена, содержащегося в неравенстве, отрицателен при
$v_{0}^{2} < 2a \mu g$.
Это и есть искомое условие. Время, через которое нижний брусок остановится, можно определить, приравняв скорость $v$ нулю:
$t_{1} = \frac{v_{0} }{ \mu g}$.
Значит, при $v_{0}^{2} < 2a \mu g$ оба бруска в конце концов остановятся. Это первый ответ задачи.
Пусть теперь $v_{0}^{2} \geq 2a \mu g$. Из закона движения нижнего бруска найдем, через какое время $t_{2}$ он стукнется о стену:
$t_{2} = \frac{v_{0} }{ \mu g} \pm \frac{ \sqrt{v_{0}^{2} - 2a \mu g } }{ \mu g} = t_{1} \pm \frac{ \sqrt{v_{0}^{2} - 2 a \mu g } }{ \mu g}$.
Для того чтобы нижний брусок стукнулся о стену, нужно, чтобы выполнялось условие $t_{2} < t_{1}$ (иначе брусок остановится раньше, чем доедет до стены). Поэтому остается только результат со знаком «минус» перед корнем:
$t_{2} = \frac{v_{0} }{ \mu g} - \frac{ \sqrt{v_{0}^{2} - 2 a \mu g } }{ \mu g}$.
Теперь можно найти скорость, которую будут иметь оба бруска после взаимодействия со стеной:
$u = v_{0} - \mu gt_{2} = \sqrt{v_{0}^{2} - 2a \mu g}$.
Это второй ответ задачи.
Брусок массой $M$ положен на другой такой же брусок с небольшим сдвигом $a$ (рис.). Эта система как целое скользит по гладкому горизонтальному полу со скоростью $v_{0}$. На ее пути стоит вертикальная стена, перпендикулярная направлению вектора скорости и параллельная краям брусков. Удар каждого бруска о стену абсолютно упругий, коэффициент трения между брусками $\mu$. Опишите, как будет происходить столкновение системы со стеной, и определите, какие скорости будут иметь бруски, когда этот процесс окончится.
Решение:
После удара верхнего бруска о стену его скорость изменится на противоположную по направлению, сохранив свой модуль, а скорость нижнего бруска не изменится. Затем бруски начнут двигаться навстречу друг другу с одинаковыми по модулю начальными скоростями и равными по модулю, но противоположно направленными ускорениями. Из-за этого скорости брусков будут уменьшаться, все время оставаясь равными друг другу. В результате нижний брусок либо не достигнет стены, либо все же ударится о нее, имея некоторую скорость $u$. В первом случае оба бруска останутся стоять неподвижно на некотором расстоянии от стены. Во втором случае нижний брусок, ударившись о стену, поменяет направление своей скорости на противоположное, в результате чего проскальзывание между брусками прекратится и оба бруска продолжат движение со скоростью, равной $u$, в направлении от стены. Рассмотрим отдельно оба случая.
Поместим начало координатной оси X в угол между стеной и полом и направим ее в сторону первоначального движения брусков. Ясно, что после первого удара сила трения между
брусками составляет $F_{тр} = \mu Mg$, ускорение нижнего и верхнего брусков по модулю равно $\frac{F_{тр}}{M} = \mu g$. Тогда закон движения передней грани нижнего бруска имеет вид
$x = - a + v_{0}t - \frac{ \mu gt^{2} }{2}$,
а его скорость изменяется по закону
$v = v_{0} - \mu gt$,
при этом время отсчитывается от момента удара верхнего бруска о стену. Найдем условие на скорость $v_{0}$, при которой нижний брусок не доедет до стены (не достигнет координаты $x = 0$). Оно получается из неравенства
$x = - a + v_{0}t - \frac{ \mu gt^{2} }{2} < 0$.
Решая его, находим, что дискриминант квадратного трехчлена, содержащегося в неравенстве, отрицателен при
$v_{0}^{2} < 2a \mu g$.
Это и есть искомое условие. Время, через которое нижний брусок остановится, можно определить, приравняв скорость $v$ нулю:
$t_{1} = \frac{v_{0} }{ \mu g}$.
Значит, при $v_{0}^{2} < 2a \mu g$ оба бруска в конце концов остановятся. Это первый ответ задачи.
Пусть теперь $v_{0}^{2} \geq 2a \mu g$. Из закона движения нижнего бруска найдем, через какое время $t_{2}$ он стукнется о стену:
$t_{2} = \frac{v_{0} }{ \mu g} \pm \frac{ \sqrt{v_{0}^{2} - 2a \mu g } }{ \mu g} = t_{1} \pm \frac{ \sqrt{v_{0}^{2} - 2 a \mu g } }{ \mu g}$.
Для того чтобы нижний брусок стукнулся о стену, нужно, чтобы выполнялось условие $t_{2} < t_{1}$ (иначе брусок остановится раньше, чем доедет до стены). Поэтому остается только результат со знаком «минус» перед корнем:
$t_{2} = \frac{v_{0} }{ \mu g} - \frac{ \sqrt{v_{0}^{2} - 2 a \mu g } }{ \mu g}$.
Теперь можно найти скорость, которую будут иметь оба бруска после взаимодействия со стеной:
$u = v_{0} - \mu gt_{2} = \sqrt{v_{0}^{2} - 2a \mu g}$.
Это второй ответ задачи.
