Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15332
2021-07-09 
В колебательном контуре (рис.) конденсатор емкостью $C$ заряжен до некоторого напряжения. После замыкания ключа К в контуре происходят свободные незатухающие колебания, при которых амплитудное значение тока в катушке индуктивностью $L_{2}$ равно $I_{2m}$. Когда ток в катушке индуктивностью $L_{1}$ достигает максимального значения, из нее быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) выдвигают сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в $\mu$ раз. Найдите максимальное напряжение на конденсаторе при колебаниях в контуре после выдвижения сердечника.
Решение:
В любой момент времени после замыкания ключа ЭДС самоиндукции катушек между собой равны:
$\frac{d \Phi_{1} }{dt} = \frac{d \Phi_{2} }{dt}$,
где $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ - магнитные потоки, пронизывающие соответствующие катушки. В интегральной форме это равенство имеет вид
$\Phi_{1} - \Phi_{2} = const$.
Поскольку сразу после замыкания ключа $\Phi_{1} = \Phi_{2} = 0$, константа также равна нулю. Следовательно, в любой момент времени после замыкания ключа $\Phi_{1} = \Phi_{2}$. Пока индуктивности катушек остаются неизменными, последнее равенство можно записать в виде $L_{1}I_{1} = L_{2}I_{2}$, где $I_{1}$ и $I_{2}$ - токи в катушках. В тот момент, когда ток во второй катушке достигает максимального значения $I_{2m}$, ток в первой катушке будет также максимален и равен $I_{2m} \frac{L_{2}}{L_{1}}$.
После быстрого выдвижения сердечника магнитные потоки в катушках сохраняются. Для первой катушки это условие запишем так:
$L_{1}I_{1m} = \frac{L_{1} }{ \mu} I_{1m}^{ \prime}$,
откуда найдем новый ток в катушке:
$I_{1m}^{ \prime} = \mu I_{1m} = \frac{ \mu L_{2} }{L_{1} } I_{2m}$.
Сохранение магнитного потока для второй катушки означает сохранение тока в ней: $I_{2m}^{ \prime } = I_{2m}$.
Суммарная энергия магнитного поля катушек равна
$W = \frac{L_{1} }{ \mu } \frac{ (I_{1m}^{ \prime } )^{2} }{2} + \frac{L_{2}I_{2m}^{2} }{2} = \frac{L_{2}(L_{1} + \mu L_{2} ) }{2L_{1} } I_{2m}^{2}$.
По закону сохранения энергии, энергия магнитного поля катушек будет полностью перекачиваться в энергию электрического поля конденсатора:
$\frac{L_{2} (L_{1} + \mu L_{2} )}{2L_{1} } I_{2m}^{2} = \frac{CU_{m}^{2} }{2}$.
Отсюда находим максимальное напряжение на конденсаторе:
$U_{m} = I_{2m} \sqrt{ \frac{L_{2}(L_{1} + \mu I_{2} ) }{L_{1}C } }$.
В колебательном контуре (рис.) конденсатор емкостью $C$ заряжен до некоторого напряжения. После замыкания ключа К в контуре происходят свободные незатухающие колебания, при которых амплитудное значение тока в катушке индуктивностью $L_{2}$ равно $I_{2m}$. Когда ток в катушке индуктивностью $L_{1}$ достигает максимального значения, из нее быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) выдвигают сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в $\mu$ раз. Найдите максимальное напряжение на конденсаторе при колебаниях в контуре после выдвижения сердечника.
Решение:
В любой момент времени после замыкания ключа ЭДС самоиндукции катушек между собой равны:
$\frac{d \Phi_{1} }{dt} = \frac{d \Phi_{2} }{dt}$,
где $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ - магнитные потоки, пронизывающие соответствующие катушки. В интегральной форме это равенство имеет вид
$\Phi_{1} - \Phi_{2} = const$.
Поскольку сразу после замыкания ключа $\Phi_{1} = \Phi_{2} = 0$, константа также равна нулю. Следовательно, в любой момент времени после замыкания ключа $\Phi_{1} = \Phi_{2}$. Пока индуктивности катушек остаются неизменными, последнее равенство можно записать в виде $L_{1}I_{1} = L_{2}I_{2}$, где $I_{1}$ и $I_{2}$ - токи в катушках. В тот момент, когда ток во второй катушке достигает максимального значения $I_{2m}$, ток в первой катушке будет также максимален и равен $I_{2m} \frac{L_{2}}{L_{1}}$.
После быстрого выдвижения сердечника магнитные потоки в катушках сохраняются. Для первой катушки это условие запишем так:
$L_{1}I_{1m} = \frac{L_{1} }{ \mu} I_{1m}^{ \prime}$,
откуда найдем новый ток в катушке:
$I_{1m}^{ \prime} = \mu I_{1m} = \frac{ \mu L_{2} }{L_{1} } I_{2m}$.
Сохранение магнитного потока для второй катушки означает сохранение тока в ней: $I_{2m}^{ \prime } = I_{2m}$.
Суммарная энергия магнитного поля катушек равна
$W = \frac{L_{1} }{ \mu } \frac{ (I_{1m}^{ \prime } )^{2} }{2} + \frac{L_{2}I_{2m}^{2} }{2} = \frac{L_{2}(L_{1} + \mu L_{2} ) }{2L_{1} } I_{2m}^{2}$.
По закону сохранения энергии, энергия магнитного поля катушек будет полностью перекачиваться в энергию электрического поля конденсатора:
$\frac{L_{2} (L_{1} + \mu L_{2} )}{2L_{1} } I_{2m}^{2} = \frac{CU_{m}^{2} }{2}$.
Отсюда находим максимальное напряжение на конденсаторе:
$U_{m} = I_{2m} \sqrt{ \frac{L_{2}(L_{1} + \mu I_{2} ) }{L_{1}C } }$.
