Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15322
2021-07-09 
Веревку длиной $l$ и массой $m$ кладут на гладкое горизонтальное бревно радиусом $R$ (рис.), причем вначале веревку удерживают за верхний конец, прикладывая горизонтальную силу $F$, а затем отпускают. Определите: а) значение силы $F$; б) ускорение веревки в первый момент.
Решение:
Обозначим через $H$ расстояние по вертикали (разность высот) между верхней и нижней точками веревки. Если веревка свешивается с бревна ($l > \frac{ \pi 2}{2}$, то $H = l - \frac{ \pi R}{2} + R$, если же нет, то $H = R \cos \frac{l}{R}$. Как мы увидим, в ответ будет входить только $H$.
Запишем второй закон Ньютона для элемента веревки длиной $\Delta l$ и массой $\Delta m = \frac{m}{l} \Delta l = \lambda \Delta l$ ($\lambda$ - масса единицы длины веревки) в проекциях на ось, направленную вдоль этого элемента (рис.):
$\Delta T + \Delta mg \cos \alpha = \Delta m a$.
Здесь $\Delta T$ - разность между натяжениями на концах элемента, $a$ - ускорение веревки (в первом сиучае, пока веревку удерживают, надо положить $a = 0$). Перед тем как просуммировать эти уравнения, заметим, что $\Delta m \cos \alpha = \lambda \Delta l \cos \alpha = \lambda \Delta h$, где $\Delta h$ - расстояние по вертикали между концами элемента.
Теперь просуммируем уравнения вдоль всей длины веревки. Сумма всех $\Delta T$ равна разности сил натяжения на концах веревки, т.е. для неподвижной веревки это $-F$, а для свободной веревки это ноль. В случае а) получаем уравнение
$-F + \lambda gH = 0$, откуда $F = \frac{m}{l} gH$.
В случае 6) -
$\lambda gH = ma$, откуда $a = g \frac{H}{l}$.
Эту задачу можно решить и из энергетических соображений, причем в этом случае удается обойтись без суммирования. Начнем с неподвижной веревки. Сместив коней веревки на малое расстояние $\Delta x$, мы совершим работу $F \Delta x$, которая должна равняться изменению потенциальной энергии веревки $\Delta E$. Заметим, что для расчета потенциальной энергии можно считать, что вся веревка осталась на месте, а элемент длиной $\Delta m$ был перенесен с одного конца веревки на другой. Значит, $\Delta E = \lambda \Delta x gH$. Приравнивая изменение энергии к работе, получаем $F = \frac{m}{l} gH$. Для свободной веревки надо $\Delta E$ приравнять к кинетической энергии, а для определения ускорения - использовать кинематическое выражение $v^{2} = 2ax$. Сделайте это сами и, кроме того, подумайте, почему получается $a = \frac{F}{m}$. Если поймете, то вторая часть задачи станет просто продолжением первой.
Веревку длиной $l$ и массой $m$ кладут на гладкое горизонтальное бревно радиусом $R$ (рис.), причем вначале веревку удерживают за верхний конец, прикладывая горизонтальную силу $F$, а затем отпускают. Определите: а) значение силы $F$; б) ускорение веревки в первый момент.
Решение:
Обозначим через $H$ расстояние по вертикали (разность высот) между верхней и нижней точками веревки. Если веревка свешивается с бревна ($l > \frac{ \pi 2}{2}$, то $H = l - \frac{ \pi R}{2} + R$, если же нет, то $H = R \cos \frac{l}{R}$. Как мы увидим, в ответ будет входить только $H$.
Запишем второй закон Ньютона для элемента веревки длиной $\Delta l$ и массой $\Delta m = \frac{m}{l} \Delta l = \lambda \Delta l$ ($\lambda$ - масса единицы длины веревки) в проекциях на ось, направленную вдоль этого элемента (рис.):
$\Delta T + \Delta mg \cos \alpha = \Delta m a$.
Здесь $\Delta T$ - разность между натяжениями на концах элемента, $a$ - ускорение веревки (в первом сиучае, пока веревку удерживают, надо положить $a = 0$). Перед тем как просуммировать эти уравнения, заметим, что $\Delta m \cos \alpha = \lambda \Delta l \cos \alpha = \lambda \Delta h$, где $\Delta h$ - расстояние по вертикали между концами элемента.
Теперь просуммируем уравнения вдоль всей длины веревки. Сумма всех $\Delta T$ равна разности сил натяжения на концах веревки, т.е. для неподвижной веревки это $-F$, а для свободной веревки это ноль. В случае а) получаем уравнение
$-F + \lambda gH = 0$, откуда $F = \frac{m}{l} gH$.
В случае 6) -
$\lambda gH = ma$, откуда $a = g \frac{H}{l}$.
Эту задачу можно решить и из энергетических соображений, причем в этом случае удается обойтись без суммирования. Начнем с неподвижной веревки. Сместив коней веревки на малое расстояние $\Delta x$, мы совершим работу $F \Delta x$, которая должна равняться изменению потенциальной энергии веревки $\Delta E$. Заметим, что для расчета потенциальной энергии можно считать, что вся веревка осталась на месте, а элемент длиной $\Delta m$ был перенесен с одного конца веревки на другой. Значит, $\Delta E = \lambda \Delta x gH$. Приравнивая изменение энергии к работе, получаем $F = \frac{m}{l} gH$. Для свободной веревки надо $\Delta E$ приравнять к кинетической энергии, а для определения ускорения - использовать кинематическое выражение $v^{2} = 2ax$. Сделайте это сами и, кроме того, подумайте, почему получается $a = \frac{F}{m}$. Если поймете, то вторая часть задачи станет просто продолжением первой.
