Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15320
2021-07-09 
Длинная тонкая цепочка перекинута через блок так, что ее правая часть свисает до пола, а левая лежит, свернувшись клубком, на уступе высотой $H$ (рис.) Цепочку отпускают, и она приходит в движение. Найдите установившуюся скорость движения цепочки. Блок идеалъный, цепочка неупругая.
Решение:
Рассмотрим сначала правую часть цепочки. Поскольку цепочка неупругая и мягкая, взаимодействие с полом нижнего звена не передается верхним. Значит, натяжение цепочки возле пола равно нулю. Так как цепочка при установившемся режиме движется равномерно, натяжение на некоторой высоте $h$ равно весу низжшей части цепочки:
$T_{h} = \lambda gh$,
где $\lambda$ - масса единицы длины цепочки. Перейдем теперь к левой части цепочки. Натяжение в нижней части, над самым уступом, можно найти, записав изменение импульса элемента цепочки длbной $v \Delta t$ и массой $\lambda v \Delta t$, который за время $\Delta t$ приходит в движение
$\lambda v \Delta t v = T_{H} \Delta t$, или $T_{H} = \lambda v^{2}$
При равномерном движении натяжения справа и слева на одном уровне должны быть равны
$T_{h} = T_{H}$,
откуда получаем
$\lambda gH = \lambda v^{2}$, или $v = \sqrt{gH}$
Попробуем решить эту задачу из энергетичеcких соображений. Если быть не очень внимательным, можно легко прийти и противоречию с полученным выше результатом. Казалось бы, при установившемся движении цепочки работа силы тяжести за время $\Delta t$ должна быть равна выделившемуся за то же время количеству теплоты. Работа равна $\lambda gHv \Delta t$, а количество теплоты, наделяющееся при неупругом ударе о пол элемента длиной $v \Delta t$, равно $\lambda v \Delta t \frac{v^{2}}{2}$ Однако, если приравнять эти выражение, получим ответ, в $\sqrt{2}$ раз больший предыдущего. В чем же здесь дело?
Оказывается, тепло выделяется ие только при неупругом ударе элемента цепочки о пол, но и (хотя это не столь очевидно) при разгоне такого же элемента на уступе до скорости $v$. Более того, эти количества теплоты оказываются одинаковыми. Это приводит к тому, что общее количество теплоты увеличивается вдвое и лишний $\sqrt{2}$ из ответа исчезает. Действительно, сравним работу силы натяжения при подъеме элемента длиной $v \Delta t$ с уступа $\lambda v^{2} (v \Delta t)$ с кинетической энергией, приобретенной этим элементом $\lambda v \Delta t \frac{v^{2} }{2}$. Видно, что работа в два раза больше, а разность между работой и энергией как раз равна количеству теплоты, которое выделилось при разгоне этого элемента.
Чтобы лучше понять механизм выделения тепла, представим себе, что мы хотим разослать тело массой $m$ до скорости $v$ при помощи пружины, для чего начнем перемещать конец пружины с постоянной скоростью $v$. Если пружина идеальная, то скорость тела никогда не установится, так как колебательный процесс никогда не прекратится. Если же пружина ие идеальная, то колебания в конце концов затухнут и тело приобретет скорость $v$. Чтобы узнать, сколько за это время выделилось тепла, надо перейти в систему отсчета, в которой конец пружины покоится. В этой системе начальная кинетическим энергия тела $\frac{mv^{2}}{2}$ полностью перейдет в тепло. Значит, приобретенная телом кинетическая энергии при разгоне равна количеству теплоты, которое при этом выделяется.
Длинная тонкая цепочка перекинута через блок так, что ее правая часть свисает до пола, а левая лежит, свернувшись клубком, на уступе высотой $H$ (рис.) Цепочку отпускают, и она приходит в движение. Найдите установившуюся скорость движения цепочки. Блок идеалъный, цепочка неупругая.
Решение:
Рассмотрим сначала правую часть цепочки. Поскольку цепочка неупругая и мягкая, взаимодействие с полом нижнего звена не передается верхним. Значит, натяжение цепочки возле пола равно нулю. Так как цепочка при установившемся режиме движется равномерно, натяжение на некоторой высоте $h$ равно весу низжшей части цепочки:
$T_{h} = \lambda gh$,
где $\lambda$ - масса единицы длины цепочки. Перейдем теперь к левой части цепочки. Натяжение в нижней части, над самым уступом, можно найти, записав изменение импульса элемента цепочки длbной $v \Delta t$ и массой $\lambda v \Delta t$, который за время $\Delta t$ приходит в движение
$\lambda v \Delta t v = T_{H} \Delta t$, или $T_{H} = \lambda v^{2}$
При равномерном движении натяжения справа и слева на одном уровне должны быть равны
$T_{h} = T_{H}$,
откуда получаем
$\lambda gH = \lambda v^{2}$, или $v = \sqrt{gH}$
Попробуем решить эту задачу из энергетичеcких соображений. Если быть не очень внимательным, можно легко прийти и противоречию с полученным выше результатом. Казалось бы, при установившемся движении цепочки работа силы тяжести за время $\Delta t$ должна быть равна выделившемуся за то же время количеству теплоты. Работа равна $\lambda gHv \Delta t$, а количество теплоты, наделяющееся при неупругом ударе о пол элемента длиной $v \Delta t$, равно $\lambda v \Delta t \frac{v^{2}}{2}$ Однако, если приравнять эти выражение, получим ответ, в $\sqrt{2}$ раз больший предыдущего. В чем же здесь дело?
Оказывается, тепло выделяется ие только при неупругом ударе элемента цепочки о пол, но и (хотя это не столь очевидно) при разгоне такого же элемента на уступе до скорости $v$. Более того, эти количества теплоты оказываются одинаковыми. Это приводит к тому, что общее количество теплоты увеличивается вдвое и лишний $\sqrt{2}$ из ответа исчезает. Действительно, сравним работу силы натяжения при подъеме элемента длиной $v \Delta t$ с уступа $\lambda v^{2} (v \Delta t)$ с кинетической энергией, приобретенной этим элементом $\lambda v \Delta t \frac{v^{2} }{2}$. Видно, что работа в два раза больше, а разность между работой и энергией как раз равна количеству теплоты, которое выделилось при разгоне этого элемента.
Чтобы лучше понять механизм выделения тепла, представим себе, что мы хотим разослать тело массой $m$ до скорости $v$ при помощи пружины, для чего начнем перемещать конец пружины с постоянной скоростью $v$. Если пружина идеальная, то скорость тела никогда не установится, так как колебательный процесс никогда не прекратится. Если же пружина ие идеальная, то колебания в конце концов затухнут и тело приобретет скорость $v$. Чтобы узнать, сколько за это время выделилось тепла, надо перейти в систему отсчета, в которой конец пружины покоится. В этой системе начальная кинетическим энергия тела $\frac{mv^{2}}{2}$ полностью перейдет в тепло. Значит, приобретенная телом кинетическая энергии при разгоне равна количеству теплоты, которое при этом выделяется.
