Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1531
2016-12-11 
Незаряженный проводник помещен в однородное электрическое поле. Изменится ли поверхностная плотность зарядов, если все размеры проводника увеличить в $n$ раз?
Решение:
Распределение зарядов по поверхности проводника осуществляется таким образом, чтобы напряженность электрического поля в произвольной точке А внутри проводника обращалась в нуль:
$\vec{E} + \sum \vec{E}_{i} = 0$, (1)
где $\vec{E}_{i}$ — напряженность электрического поля, создаваемая в точке А зарядами, сосредоточенными на малой площадке поверхности проводника:
$\vec{E}_{i} = \frac{k \sigma_{i} S_{i}}{f_{i}^{2}} \vec{n}_{i}$. (2)
В (2) $\sigma_{i} S_{i}$ — заряд на площадке $S_{i}, \vec{n}_{i} = \frac{ \vec{r}_{i}}{r_{i}}$ — единичный вектор, совпадающий с направлением вектора $\vec{E}_{i}$.
После увеличения линейных размеров проводника в $n$ раз площадка $S_{i}$ увеличится до размера $S_{i}^{ \prime} = n^{2} \cdot S_{i}, r^{ \prime}_{i} = nr_{i}$, направление вектора $\vec{E}_{i}$ останется неизменным ( $\vec{n}_{i}^{ \prime} = \vec{n}_{i}$). Напряженность электрического поля, создаваемая зарядами площадки $S_{i}^{ \prime}$ в точке А:
$\vec{E}_{i}^{ \prime} = \frac{k \sigma_{i}^{ \prime} S_{i}^{ \prime} \vec{n}_{i}^{ \prime}}{r_{i}^{2 \prime}} = \frac{k \sigma_{i}^{ \prime} n^{2} S_{i}}{r_{i}^{2}n^{2}} \vec{n}_{i} = \frac{k \sigma_{i}^{ \prime} S_{i}}{ r_{i}^{2}} \vec{n}_{i}$. (3)
Чтобы (1) оставалось в силе (внешнее поле оставалось скомпенсированным индуцированными зарядами), необходимо, чтобы:
$\vec{E}_{i} = \vec{E}_{i}^{ \prime}$, (4)
откуда с учетом (2, 3) получаем:
$\sigma_{i} = \sigma_{i}^{ \prime}$,
то есть поверхностная плотность зарядов не изменится.
Незаряженный проводник помещен в однородное электрическое поле. Изменится ли поверхностная плотность зарядов, если все размеры проводника увеличить в $n$ раз?
Решение:
Распределение зарядов по поверхности проводника осуществляется таким образом, чтобы напряженность электрического поля в произвольной точке А внутри проводника обращалась в нуль:
$\vec{E} + \sum \vec{E}_{i} = 0$, (1)
где $\vec{E}_{i}$ — напряженность электрического поля, создаваемая в точке А зарядами, сосредоточенными на малой площадке поверхности проводника:
$\vec{E}_{i} = \frac{k \sigma_{i} S_{i}}{f_{i}^{2}} \vec{n}_{i}$. (2)
В (2) $\sigma_{i} S_{i}$ — заряд на площадке $S_{i}, \vec{n}_{i} = \frac{ \vec{r}_{i}}{r_{i}}$ — единичный вектор, совпадающий с направлением вектора $\vec{E}_{i}$.
После увеличения линейных размеров проводника в $n$ раз площадка $S_{i}$ увеличится до размера $S_{i}^{ \prime} = n^{2} \cdot S_{i}, r^{ \prime}_{i} = nr_{i}$, направление вектора $\vec{E}_{i}$ останется неизменным ( $\vec{n}_{i}^{ \prime} = \vec{n}_{i}$). Напряженность электрического поля, создаваемая зарядами площадки $S_{i}^{ \prime}$ в точке А:
$\vec{E}_{i}^{ \prime} = \frac{k \sigma_{i}^{ \prime} S_{i}^{ \prime} \vec{n}_{i}^{ \prime}}{r_{i}^{2 \prime}} = \frac{k \sigma_{i}^{ \prime} n^{2} S_{i}}{r_{i}^{2}n^{2}} \vec{n}_{i} = \frac{k \sigma_{i}^{ \prime} S_{i}}{ r_{i}^{2}} \vec{n}_{i}$. (3)
Чтобы (1) оставалось в силе (внешнее поле оставалось скомпенсированным индуцированными зарядами), необходимо, чтобы:
$\vec{E}_{i} = \vec{E}_{i}^{ \prime}$, (4)
откуда с учетом (2, 3) получаем:
$\sigma_{i} = \sigma_{i}^{ \prime}$,
то есть поверхностная плотность зарядов не изменится.
