Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15308
2021-07-09 
Лыжник съезжает с нулевой начальной скоростью, не отталкиваясь палками, со склона холча по прямой, составляющей некоторый угол с горизонтальной плоскостью, и, проехав по склону расстояние $s_{0} = 60 м$, останавливается, увязнув в снегу. Условия движения таковы, что сила сопротивления, действующая на лыжника со стороны снега, пропорциональна пройденному пути, коэффициент пропорциональности $k = 6,4 Н/м$. Найдите величину максимальной скорости лыжника при спуске, если его масса с инвентарем $m = 90 кг$. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
На съезжающего по склону холма лыжника действуют три силы: сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции, перпендикулярная траектории, и сила сопротивления, равная $F_{c} = ks$, где $s$ - длина пройденного пути, и направленная по касательной к траектории лыжника противоположно вектору его скорости.
По теореме об изменении кинетической энергии, для отрезка пути $s \leq s_{0}$ имеем
$\frac{mv^{2} }{2} - 0 = A_{тяж} + A_{c}$.
Здесь $v$ - величина скорости лыжника в момент, когда он прошел путь $s$. Работа постоянной силы тяжести находится по формуле
$A_{тяж} = mgs \cos \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right ) - mgs \sin \alpha $,
где $\alpha$ - угол наклона прямолинейной траектории лыжника к горизонту. Работа силы сопротивления, во-первых, отрицательна (так как сила и перемещение противонаправлены), а во-вторых, - это работа переменной силы. График зависимости $F_{c}$ от $s$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Как и в задаче 1, площадь под графиком имеет смысл величины соответствующей работы:
$A_{c} = - \frac{1}{2} sks = - \frac{ks^{2} }{2}$.
Возвращаясь к теореме об изменении кинетической энергии, получаем
$\frac{mv^{2}}{2} = mgs \sin \alpha - \frac{ks^{2}}{2}$.
Искомая в задаче максимальная скорость соответствует максимальному значению правой части этого равенства. Поскольку правая часть равенства - квадратичная функция пути, ее максимальное значение находится при значении $s$, равном полусумме путей $s_{1}$ и $s_{2}$, обращающих ее в ноль. Ясно, что $s_{1} = 0$ и $s_{2} = \frac{2mgs \sin \alpha}{k} = s_{0}$. Таким образом при $s = \frac{s_{0}}{2} = \frac{mg \sin \alpha}{k}$ кинетическая энергия лыжника максимальна.
$\frac{mv_{max}^{2}}{2} = mg \frac{s_{0} }{2} \sin \alpha - \frac{k \left ( \frac{s_{0} }{2} \right )^{2} }{2} - \frac{k \left ( \frac{s_{0} }{2} \right )^{2} }{2} = \frac{ks_{0}^{2} }{8}$.
Отсюда находим искомую скорость:
$v_{max} = \frac{s_{0} }{2} \sqrt{ \frac{k}{m} } = 8 м/с$.
При расчете работы силы сопротивления принят во внимание линейный рост силы сопротивления с увеличением смещения $s$. Более того, суммарная сила $(mg \sin \alpha - ks)$ имеет характер квазиупругоЙ возвращающей силы с положением равновесия при $s = \frac{s_{0}}{2}$. Следовательно, от старта до остановки лыжник движется по гармоническому закону, достигая максимальной скорости в положении $s = \frac{s_{0}}{2}$, причем $\frac{s_{0}}{2}$ - максимальное смещение от положения равновесия (амплитуда колебаний). Из кинематики гармонических колебаний известна связь амплитуд скорости и смещения:
$v_{max} = \frac{s_{0} }{2} \omega$,
где $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}$ - циклическая частота колебаний Таким образом результат для $v_{max}$ можно получить и в терминах амплитуд колеблющихся величин.
Особый интерес представляет теорема об изменении кинетической энергии для системы нескольких взаимодействующих тел, движущихся относительно друг друга. Рассмотрим случай двух взаимодействующих тел
Пусть $\vec{F}_{12}$ - сила, действующая на тело 1 массой $m_{1}$ со стороны тела 2 массой $m_{2}$, a $\vec{F}_{12}$ - сила, действующая на тело 2 со стороны тела 1. В соответствии с третьим законом Ньютона,
$\vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}$.
Пусть также $\vec{F}_{1}$ - сумма всех сил, действующих на тело 1 со стороны всех тел, кроме тела 2, т.е. это есть сумма всех внешних сил, приложенных к телу 1. Аналогичный смысл имеет сила $\vec{F}_{2}$ в отношении тела 2. Для каждого из двух тел запишем теорему об элементарном приращении его кинетической энергии:
$\Delta \left ( \frac{m_{1} \vec{v}_{1}^{2} }{2} \right ) = \vec{F}_{12} \vec{v}_{1} \Delta t + \vec{F}_{1} \vec{v}_{1} \Delta t$,
$\Delta \left ( \frac{m_{2} \vec{v}_{2}^{2} }{2} \right ) = \vec{F}_{21} \vec{v}_{2} \Delta t + \vec{F}_{2} \vec{v}_{2} \Delta t$.
Складывая почленно эти равенства, с учетом третьего закона Ньютона, находим
$\Delta \left ( \frac{m_{1} \vec{v}_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2} \vec{v}_{2}^{2} }{2} \right ) = \vec{F}_{12} \left ( \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2} \right ) \Delta t + \vec{F}_{1} \vec{v}_{1} \Delta t + \vec{F}_{2} \vec{v}_{2} \Delta t$.
В левой части этого равенства записано элементарное приращение кинетической энергии системы двух тел. Первое слагаемое в правой части - это вычисленная в системе отсчета, связанной с телом 2, элементарная работа силы, действующей на тело 1 со стороны тела 2. Второе и третье слагаемые - это элементарные работы внешних сил.
Лыжник съезжает с нулевой начальной скоростью, не отталкиваясь палками, со склона холча по прямой, составляющей некоторый угол с горизонтальной плоскостью, и, проехав по склону расстояние $s_{0} = 60 м$, останавливается, увязнув в снегу. Условия движения таковы, что сила сопротивления, действующая на лыжника со стороны снега, пропорциональна пройденному пути, коэффициент пропорциональности $k = 6,4 Н/м$. Найдите величину максимальной скорости лыжника при спуске, если его масса с инвентарем $m = 90 кг$. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
На съезжающего по склону холма лыжника действуют три силы: сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции, перпендикулярная траектории, и сила сопротивления, равная $F_{c} = ks$, где $s$ - длина пройденного пути, и направленная по касательной к траектории лыжника противоположно вектору его скорости.
По теореме об изменении кинетической энергии, для отрезка пути $s \leq s_{0}$ имеем
$\frac{mv^{2} }{2} - 0 = A_{тяж} + A_{c}$.
Здесь $v$ - величина скорости лыжника в момент, когда он прошел путь $s$. Работа постоянной силы тяжести находится по формуле
$A_{тяж} = mgs \cos \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right ) - mgs \sin \alpha $,
где $\alpha$ - угол наклона прямолинейной траектории лыжника к горизонту. Работа силы сопротивления, во-первых, отрицательна (так как сила и перемещение противонаправлены), а во-вторых, - это работа переменной силы. График зависимости $F_{c}$ от $s$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Как и в задаче 1, площадь под графиком имеет смысл величины соответствующей работы:
$A_{c} = - \frac{1}{2} sks = - \frac{ks^{2} }{2}$.
Возвращаясь к теореме об изменении кинетической энергии, получаем
$\frac{mv^{2}}{2} = mgs \sin \alpha - \frac{ks^{2}}{2}$.
Искомая в задаче максимальная скорость соответствует максимальному значению правой части этого равенства. Поскольку правая часть равенства - квадратичная функция пути, ее максимальное значение находится при значении $s$, равном полусумме путей $s_{1}$ и $s_{2}$, обращающих ее в ноль. Ясно, что $s_{1} = 0$ и $s_{2} = \frac{2mgs \sin \alpha}{k} = s_{0}$. Таким образом при $s = \frac{s_{0}}{2} = \frac{mg \sin \alpha}{k}$ кинетическая энергия лыжника максимальна.
$\frac{mv_{max}^{2}}{2} = mg \frac{s_{0} }{2} \sin \alpha - \frac{k \left ( \frac{s_{0} }{2} \right )^{2} }{2} - \frac{k \left ( \frac{s_{0} }{2} \right )^{2} }{2} = \frac{ks_{0}^{2} }{8}$.
Отсюда находим искомую скорость:
$v_{max} = \frac{s_{0} }{2} \sqrt{ \frac{k}{m} } = 8 м/с$.
При расчете работы силы сопротивления принят во внимание линейный рост силы сопротивления с увеличением смещения $s$. Более того, суммарная сила $(mg \sin \alpha - ks)$ имеет характер квазиупругоЙ возвращающей силы с положением равновесия при $s = \frac{s_{0}}{2}$. Следовательно, от старта до остановки лыжник движется по гармоническому закону, достигая максимальной скорости в положении $s = \frac{s_{0}}{2}$, причем $\frac{s_{0}}{2}$ - максимальное смещение от положения равновесия (амплитуда колебаний). Из кинематики гармонических колебаний известна связь амплитуд скорости и смещения:
$v_{max} = \frac{s_{0} }{2} \omega$,
где $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}$ - циклическая частота колебаний Таким образом результат для $v_{max}$ можно получить и в терминах амплитуд колеблющихся величин.
Особый интерес представляет теорема об изменении кинетической энергии для системы нескольких взаимодействующих тел, движущихся относительно друг друга. Рассмотрим случай двух взаимодействующих тел
Пусть $\vec{F}_{12}$ - сила, действующая на тело 1 массой $m_{1}$ со стороны тела 2 массой $m_{2}$, a $\vec{F}_{12}$ - сила, действующая на тело 2 со стороны тела 1. В соответствии с третьим законом Ньютона,
$\vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}$.
Пусть также $\vec{F}_{1}$ - сумма всех сил, действующих на тело 1 со стороны всех тел, кроме тела 2, т.е. это есть сумма всех внешних сил, приложенных к телу 1. Аналогичный смысл имеет сила $\vec{F}_{2}$ в отношении тела 2. Для каждого из двух тел запишем теорему об элементарном приращении его кинетической энергии:
$\Delta \left ( \frac{m_{1} \vec{v}_{1}^{2} }{2} \right ) = \vec{F}_{12} \vec{v}_{1} \Delta t + \vec{F}_{1} \vec{v}_{1} \Delta t$,
$\Delta \left ( \frac{m_{2} \vec{v}_{2}^{2} }{2} \right ) = \vec{F}_{21} \vec{v}_{2} \Delta t + \vec{F}_{2} \vec{v}_{2} \Delta t$.
Складывая почленно эти равенства, с учетом третьего закона Ньютона, находим
$\Delta \left ( \frac{m_{1} \vec{v}_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2} \vec{v}_{2}^{2} }{2} \right ) = \vec{F}_{12} \left ( \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2} \right ) \Delta t + \vec{F}_{1} \vec{v}_{1} \Delta t + \vec{F}_{2} \vec{v}_{2} \Delta t$.
В левой части этого равенства записано элементарное приращение кинетической энергии системы двух тел. Первое слагаемое в правой части - это вычисленная в системе отсчета, связанной с телом 2, элементарная работа силы, действующей на тело 1 со стороны тела 2. Второе и третье слагаемые - это элементарные работы внешних сил.
