2021-06-21
Шар из оптически прозрачного материала помещен в параллельный пучок света (рис.). Угол падения одного из лучей на поверхность шара $\phi = arctg \frac{4}{3}$, а угол его отклонения от первоначального направления после двух преломлений на поверхности шара $\theta = 2 arctg \frac{7}{24}$. Найдите показатель преломления материала шара.
Решение:
Луч света 1А (рис.), падающий на шар под углом $\phi$, проходит в шаре по линии AB, составляющей углы $\beta$ с радиусами АО и ВО, так, что
$\frac{ \sin \phi}{ \sin \beta } = n$.
Для выходящего из шара луча В2 имеем
$\frac{ \sin \beta}{ \sin \gamma } = \frac{1}{n}$.
Рассмотрим треугольник АВС. Очевидно, что он равнобедренный и угол $\theta$ является его внешним углом; следовательно,
$\theta = 2( \phi - \beta) = 2arctg \frac{7}{24}$,
или
$tg( \phi - \beta ) = \frac{7}{24}$.
Отсюда, используя известную тригонометрическую формулу $tg ( \phi - \beta ) = \frac{tg \phi - tg \beta}{1 + tg \phi tg \beta}$, получим
$tg \beta = \frac{3}{4}$.
Окончательно, для показателя преломления находим
$n = \frac{ \sin \phi}{ \sin \beta } = \frac{ \sqrt{ 1 + \frac{1}{tg^{2} \beta } } }{ \sqrt{1 + \frac{1}{tg^{2} \phi } } } = \frac{4}{3}$.