ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-06-21   
Имеются две концентрические проводящие сферы радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ ($R_{1} < R_{2}$). Между сферами на расстоянии $r$ от центра находит ся точечный заряд $q$. Какие заряды появятся на сферах, если их заземлить?


Решение:


Выразим потенциалы сфер и приравняем их к нулю. Потенциал внутренней сферы равен потенциалу центра, т.е.

$\phi (R_{1} ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1} }{R_{1} } + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{r} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2} }{R_{2} }$,

где $q_{1}$ и $q_{2}$ - заряды сфер (после заземления). Поле во внешнем пространстве совпадает с полем точечного заряда $q_{1} + q + q_{2}$, поэтому потенциал внешней сферы равен

$\phi(R_{2} ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1} + q + q_{2} }{R_{2} }$.

Теперь приравняем потенциалы обеих сфер к нулю, решим полученные уравнения и найдем искомые заряды:

$q_{1} = - q \frac{ \frac{R_{2} }{r} - 1 }{ \frac{R_{2} }{R_{1} } - 1 }, q_{2} = - q \frac{1 - \frac{R_{1} }{r} }{1 - \frac{R_{1} }{R_{2} } }$.