Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15298
2021-06-21 
Три концентрические проводящие сферы имеют радиусы $R, 2R$ и $3R$. Внутренняя и внешняя сферы не заряжены, заряд средней сферы равен $q$. В некоторый момент внутреннюю и внешнюю сферы соединяют проволокой (рис.). Какой заряд пройдет по этой проволоке, и какое при этом выделится количество теплоты?
Решение:
Обозначим конечный заряд внешней сферы $q^{ \prime}$, тогда заряд внутренней сферы будет $-q^{ \prime}$. Применяя метод суперпозиции, вычислим конечные потенциалы внутренней и внешней сфер и приравняем их друг другу. Потенциал внутренней сферы равен
$\phi^{ \prime} (R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( - \frac{q^{ \prime } }{R} + \frac{q}{2R} + \frac{q^{ \prime} }{3R} \right )$
(для вклада от всех трех сфер можно применять формулу (2) или найти потенциал центра). Потенциал внешней сферы равен
$\phi^{ \prime } (3R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( - \frac{q^{ \prime } }{3R} + \frac{q}{3R} + \frac{q^{ \prime } }{3R} \right ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{3R}$.
Приравнивая потенциалы, находим
$q^{ \prime } = \frac{q}{4}$.
Именно такой заряд и пройдет по проволоке с внутренней сферы на внешнюю.
Для ответа на второй вопрос воспользуемся законом сохранения энергии. Начальная энергия системы равна просто энергии средней сферы, т.е.
$W = \frac{1}{2} q \phi (2R) = \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{2R}$.
Конечная энергия системы равна
$W^{ \prime } = - q^{ \prime} \phi^{ \prime } (R) + \frac{1}{2}q \phi^{ \prime } (2R) + \frac{1}{2} q^{ \prime } \phi^{ \prime } (3R) = \frac{1}{2} q \phi^{ \prime } (2R)$
(мы учли, что потенциалы внешней и внутренней сфер равны друг другу). Для конечного потенциала средней сферы запишем
$\phi^{ \prime } (2R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( - \frac{q^{ \prime } }{2R} + \frac{q}{2R} + \frac{q^{ \prime } }{3R} \right ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{11q}{24R}$
(для вклада внутренней сферы применяем формулу (1), а для вклада внешней - формулу (2)). Окончательно, выделившееся количество теплоты будет равно
$Q = W - W^{ \prime } = \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{q^{2} }{2R} - \frac{11q^{2} }{24R} \right ) = \frac{1}{192 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{R}$.
Три концентрические проводящие сферы имеют радиусы $R, 2R$ и $3R$. Внутренняя и внешняя сферы не заряжены, заряд средней сферы равен $q$. В некоторый момент внутреннюю и внешнюю сферы соединяют проволокой (рис.). Какой заряд пройдет по этой проволоке, и какое при этом выделится количество теплоты?
Решение:
Обозначим конечный заряд внешней сферы $q^{ \prime}$, тогда заряд внутренней сферы будет $-q^{ \prime}$. Применяя метод суперпозиции, вычислим конечные потенциалы внутренней и внешней сфер и приравняем их друг другу. Потенциал внутренней сферы равен
$\phi^{ \prime} (R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( - \frac{q^{ \prime } }{R} + \frac{q}{2R} + \frac{q^{ \prime} }{3R} \right )$
(для вклада от всех трех сфер можно применять формулу (2) или найти потенциал центра). Потенциал внешней сферы равен
$\phi^{ \prime } (3R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( - \frac{q^{ \prime } }{3R} + \frac{q}{3R} + \frac{q^{ \prime } }{3R} \right ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{3R}$.
Приравнивая потенциалы, находим
$q^{ \prime } = \frac{q}{4}$.
Именно такой заряд и пройдет по проволоке с внутренней сферы на внешнюю.
Для ответа на второй вопрос воспользуемся законом сохранения энергии. Начальная энергия системы равна просто энергии средней сферы, т.е.
$W = \frac{1}{2} q \phi (2R) = \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{2R}$.
Конечная энергия системы равна
$W^{ \prime } = - q^{ \prime} \phi^{ \prime } (R) + \frac{1}{2}q \phi^{ \prime } (2R) + \frac{1}{2} q^{ \prime } \phi^{ \prime } (3R) = \frac{1}{2} q \phi^{ \prime } (2R)$
(мы учли, что потенциалы внешней и внутренней сфер равны друг другу). Для конечного потенциала средней сферы запишем
$\phi^{ \prime } (2R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( - \frac{q^{ \prime } }{2R} + \frac{q}{2R} + \frac{q^{ \prime } }{3R} \right ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{11q}{24R}$
(для вклада внутренней сферы применяем формулу (1), а для вклада внешней - формулу (2)). Окончательно, выделившееся количество теплоты будет равно
$Q = W - W^{ \prime } = \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{q^{2} }{2R} - \frac{11q^{2} }{24R} \right ) = \frac{1}{192 \pi \epsilon_{0} } \frac{q^{2} }{R}$.
