Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15297
2021-06-21 
Две тонкие концентрические проводящие сферы радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ ($R_{1} < R_{2}$) несут на себе заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ соответственно. Вычислите потенциалы сфер и энергию системы. Какой заряд останется на внутренней сфере, если ее заземлить (рис.)? Как изменится при этом энергия системы?
Решение:
Потенциал любой точки пространства можно найти по принципу суперпозиции как сумму потенциала $\phi_{1} (r)$, создаваемого зарядами первой сферы, и потенциала $\phi_{2}(r)$, создаваемого второй сферой. Для каждой точки во внешней области ($r \geq R_{2}$) оба слагаемых надо вычислять по формуле $\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{r}$ - получится потенциал поля точечного заряда. Значит, потенциал внешней сферы ($r = R_{2}$) равен
$\phi (R_{2}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1} + q_{2} }{R_{2} }$. (4)
В пространстве между сферами ($R_{1} < r < R_{2}$) вклад внутренней сферы надо вычислять по формуле $\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{r}$, а вклад внешней сферы по формуле $\phi_{сф} = \phi (R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{R}$:
$\phi(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1} }{r} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2} }{R_{2} }$.
Положив в этой формуле $r = R_{2}$, мы опять получим потенциал внешней сферы, а положив $r = R_{1}$, получим ответ для потенциала внутренней сферы:
$\phi (R_{1} ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1} }{R_{1} } + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2} }{R_{2} }$. (5)
Такой же потенциал будет у всех точек при $r < R_{1}$.
Энергия этой системы зарядов равна
$W = \frac{1}{2} q_{1} \phi (R_{1} ) + \frac{1}{2} q_{2} \phi (R_{2} ) = \frac{1}{ 8 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{q_{1}^{2} }{R_{1} } + \frac{2q_{1}q_{2} }{R_{2} } + \frac{q_{2}^{2} }{R_{2} } \right )$.
Первый и третий члены представляют собой собственные энергии сфер, а второй член - энергию их взаимодействия.
После заземления внутренней сферы ее потенциал станет равным нулю. Применяя формулу (5), получим уравнение для нового заряда этой сферы:
$0 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1}^{ \prime } }{R_{1} } + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2}}{R_{2} }$,
откуда найдем
$q_{1}^{ \prime} = - q_{2} \frac{R_{1}}{R_{2}}$.
С помощью формулы (4) найдем теперь новый потенциал внешней сферы:
$\phi^{ \prime } (R_{2}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1}^{ \prime} + q_{2} }{R_{2} } = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2}(R_{2} - R_{1} ) }{R_{2}^{2} }$.
Поскольку потенциал внутренней сферы теперь равен нулю, энергия системы в конечном состоянии равна
$W^{ \prime } = \frac{1}{2} q_{2} \phi^{ \prime } (R_{2}) = \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2}^{2}(R_{2} - R_{1} ) }{R_{2}^{2} }$.
Видно, что конечная энергия системы меньше начальной. Это и понятно. Уменьшение электростатической энергии системы равно тому количеству теплоты, которое выделилось при перезарядке.
Две тонкие концентрические проводящие сферы радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ ($R_{1} < R_{2}$) несут на себе заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ соответственно. Вычислите потенциалы сфер и энергию системы. Какой заряд останется на внутренней сфере, если ее заземлить (рис.)? Как изменится при этом энергия системы?
Решение:
Потенциал любой точки пространства можно найти по принципу суперпозиции как сумму потенциала $\phi_{1} (r)$, создаваемого зарядами первой сферы, и потенциала $\phi_{2}(r)$, создаваемого второй сферой. Для каждой точки во внешней области ($r \geq R_{2}$) оба слагаемых надо вычислять по формуле $\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{r}$ - получится потенциал поля точечного заряда. Значит, потенциал внешней сферы ($r = R_{2}$) равен
$\phi (R_{2}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1} + q_{2} }{R_{2} }$. (4)
В пространстве между сферами ($R_{1} < r < R_{2}$) вклад внутренней сферы надо вычислять по формуле $\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{r}$, а вклад внешней сферы по формуле $\phi_{сф} = \phi (R) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{R}$:
$\phi(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1} }{r} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2} }{R_{2} }$.
Положив в этой формуле $r = R_{2}$, мы опять получим потенциал внешней сферы, а положив $r = R_{1}$, получим ответ для потенциала внутренней сферы:
$\phi (R_{1} ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1} }{R_{1} } + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2} }{R_{2} }$. (5)
Такой же потенциал будет у всех точек при $r < R_{1}$.
Энергия этой системы зарядов равна
$W = \frac{1}{2} q_{1} \phi (R_{1} ) + \frac{1}{2} q_{2} \phi (R_{2} ) = \frac{1}{ 8 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{q_{1}^{2} }{R_{1} } + \frac{2q_{1}q_{2} }{R_{2} } + \frac{q_{2}^{2} }{R_{2} } \right )$.
Первый и третий члены представляют собой собственные энергии сфер, а второй член - энергию их взаимодействия.
После заземления внутренней сферы ее потенциал станет равным нулю. Применяя формулу (5), получим уравнение для нового заряда этой сферы:
$0 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1}^{ \prime } }{R_{1} } + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2}}{R_{2} }$,
откуда найдем
$q_{1}^{ \prime} = - q_{2} \frac{R_{1}}{R_{2}}$.
С помощью формулы (4) найдем теперь новый потенциал внешней сферы:
$\phi^{ \prime } (R_{2}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{1}^{ \prime} + q_{2} }{R_{2} } = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2}(R_{2} - R_{1} ) }{R_{2}^{2} }$.
Поскольку потенциал внутренней сферы теперь равен нулю, энергия системы в конечном состоянии равна
$W^{ \prime } = \frac{1}{2} q_{2} \phi^{ \prime } (R_{2}) = \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{q_{2}^{2}(R_{2} - R_{1} ) }{R_{2}^{2} }$.
Видно, что конечная энергия системы меньше начальной. Это и понятно. Уменьшение электростатической энергии системы равно тому количеству теплоты, которое выделилось при перезарядке.
