Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15296
2021-06-21 
Положительно заряженная частица движется в однородных и взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый момент времени ее скорость равна $\vec{v}_{0}$ ($\vec{v}_{0} \perp \vec{E}$ и $\vec{v}_{0} \perp \vec{B} $; рис.). Чему будет равна величина скорости частицы в те моменты времени, когда
вектор ее скорости будет составлять $180^{ \circ}$ с вектором $\vec{v}_{0}$, при условии, что $E = v_{0}B$?
Решение:
Запишем уравнение движения частицы вдоль оси X (рис.):
$m \frac{dv_[x }{dt} = - qv_{y}B$,
где $m$ - масса, $q$ - заряд частицы. Решение этого уравнения имеет вид
$v_{x}(t) = v_{0} - \frac{qB}{m} y$.
В те моменты времени $t = t_{n}$, когда скорость частицы $\vec{v}$ будет составлять $180^{ \circ}$ с вектором начальной скорости,
$v_{x}(t_{n} ) = - v$ и $y(t_{n} ) = \frac{v_{0} + v }{ \frac{qB}{m} }$.
По закону сохранения энергии,
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} + qEy(t_{n}) = \frac{mv^{2} }{2}$.
При условии, что $E = v_{0}B$, для скорости $v$ получаем квадратное уравнение
$v^{2} - 2v_{0}v - Зv_{0}^{2} = 0$,
откуда находим искомую скорость:
$v = 3v_{0}$.
Для любознательных приведем еще одно - краткое и красивое - решение этой задачи. Сразу оговоримся, что это решение выходит за рамки школьной программы, поскольку оно связано г преобразованием электромагнитных полей при переходе из одной инерциальной системы в другую. Будем рассматривать движение нашей заряженной частицы в системе координат, движущейся вдоль оси X со скоростью $- v_{0}$, т.е. навстречу частице со скоростью $v_{0}$. В этой системе координат появляется дополнительное электрическое поле с напряженностью, равной $v_{0}B$ и направленной навстречу электрическому полю $\vec{E}$. В результате электрическое поле оказывается равным нулю, и остается только магнитное поле. Частица, имеющая начальную скорость $2v_{0}$, будет двигаться по окружности с постоянной скоростью $2v_{0}$. Следовательно, и в тот момент, когда вектор скорости частицы будет составлять $180^{ \circ}$ с вектором $\vec{v}_{0}$, ее скорость будет равна $2v_{0}$. Если теперь вернуться в неподвижную систему координат, то понятно, что скорость частицы будет равна $3v_{0}$
Положительно заряженная частица движется в однородных и взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый момент времени ее скорость равна $\vec{v}_{0}$ ($\vec{v}_{0} \perp \vec{E}$ и $\vec{v}_{0} \perp \vec{B} $; рис.). Чему будет равна величина скорости частицы в те моменты времени, когда
вектор ее скорости будет составлять $180^{ \circ}$ с вектором $\vec{v}_{0}$, при условии, что $E = v_{0}B$?
Решение:
Запишем уравнение движения частицы вдоль оси X (рис.):
$m \frac{dv_[x }{dt} = - qv_{y}B$,
где $m$ - масса, $q$ - заряд частицы. Решение этого уравнения имеет вид
$v_{x}(t) = v_{0} - \frac{qB}{m} y$.
В те моменты времени $t = t_{n}$, когда скорость частицы $\vec{v}$ будет составлять $180^{ \circ}$ с вектором начальной скорости,
$v_{x}(t_{n} ) = - v$ и $y(t_{n} ) = \frac{v_{0} + v }{ \frac{qB}{m} }$.
По закону сохранения энергии,
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} + qEy(t_{n}) = \frac{mv^{2} }{2}$.
При условии, что $E = v_{0}B$, для скорости $v$ получаем квадратное уравнение
$v^{2} - 2v_{0}v - Зv_{0}^{2} = 0$,
откуда находим искомую скорость:
$v = 3v_{0}$.
Для любознательных приведем еще одно - краткое и красивое - решение этой задачи. Сразу оговоримся, что это решение выходит за рамки школьной программы, поскольку оно связано г преобразованием электромагнитных полей при переходе из одной инерциальной системы в другую. Будем рассматривать движение нашей заряженной частицы в системе координат, движущейся вдоль оси X со скоростью $- v_{0}$, т.е. навстречу частице со скоростью $v_{0}$. В этой системе координат появляется дополнительное электрическое поле с напряженностью, равной $v_{0}B$ и направленной навстречу электрическому полю $\vec{E}$. В результате электрическое поле оказывается равным нулю, и остается только магнитное поле. Частица, имеющая начальную скорость $2v_{0}$, будет двигаться по окружности с постоянной скоростью $2v_{0}$. Следовательно, и в тот момент, когда вектор скорости частицы будет составлять $180^{ \circ}$ с вектором $\vec{v}_{0}$, ее скорость будет равна $2v_{0}$. Если теперь вернуться в неподвижную систему координат, то понятно, что скорость частицы будет равна $3v_{0}$
