Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15295
2021-06-21 
Частица с удельным зарядом $\alpha = 10^{8} Кл/кг$ влетает в камеру Вильсона, находящуюся в однородном магнитном поле с индукцией $B = 10^{-2} Тл$, перпендикулярно линиям магнитной индукции поля. После поворота вектора скорости на $90^{ \circ}$ - относительное изменение радиуса траектории частицы при этом равно $\epsilon = 5$ % - поле выключают. Затем частица проходит путь $L = 30 см$ до полной остановки. С какой скоростью влетела частица в камеру, если сила сопротивления при ее движении про порционалъна скорости?
Решение:
Рассмотрим сначала движение частицы в однородном магнитном поле. На частицу действуют две силы: сила Лоренца $F_{л}$, которая обеспечивает движение по окружности с центростремительным ускорением, и сила сопротивления $F_{с}$ со стороны окружающего водяного пара (рис.). Уравнение движения под действием силы Лоренца имеет вид
$\frac{mv^{2} }{R} = qvB$,
где $v$ - скорость, $q$ - заряд, $m$ - масса частицы, a $R$ - радиус кривизны ее траектории. Из этого уравнения найдем связь между $R$ и $v$:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{v}{ \alpha B}$.
При малом относительном изменении радиуса кривизны ($\frac{ \Delta R}{R} = \frac{ \epsilon}{100} = 0,05$) можно записать
$\frac{ \Delta R}{R} = \frac{ \Delta v}{v} \approx \frac{ \Delta v}{ v_{0} }$,
где $v_{0}$ - скорость частицы при влете в магнитное поле. Изменение абсолютной величины скорости $\Delta v$ происходит под действием тормозящей силы $F = kv$, где $k$ - константа. Уравнение движения частицы вдоль траектории имеет вид
$kvdt = - mdv$,
или, поскольку $vdt = ds$ (отрезок пути, пройденного частицей).
$ds = - \frac{m}{k} dv$.
В конечных приращениях (за время поворота вектора скорости на $90^{ \circ}$)
$\Delta s \approx \frac{ \pi R}{2} = \frac{ \pi v_{0} }{2 \alpha B}$ и $\Delta v = - v_{0} \frac{ \epsilon}{100}$, откуда получаем
$\frac{ \pi}{2 \alpha B} = \frac{m}{k} \frac{ \epsilon }{100 }$. (1)
Теперь рассмотрим прямолинейный участок траектории частицы после выключения магнитного поля. В этом случае на частицу действует только сила сопротивления, поэтому
$\Delta s = L$, a $\Delta v = - v_{0} \left ( 1 - \frac{ \epsilon }{100} \right )$.
Решение уравнения движения в конечных приращениях будет иметь вид
$L = \frac{m}{k} v_{0} \left (1 - \frac{ \epsilon }{100} \right )$. (2)
Совместное рассмотрение движения на обоих участках траектории позволяет из выражений (1) и (2) найти скорость $v_{0}$, с которой частица влетела в магнитное поле:
$v_{0} \approx \frac{2 \epsilon \alpha LB}{(100 - \epsilon ) \pi } \approx 10^{4} м/с$.
Частица с удельным зарядом $\alpha = 10^{8} Кл/кг$ влетает в камеру Вильсона, находящуюся в однородном магнитном поле с индукцией $B = 10^{-2} Тл$, перпендикулярно линиям магнитной индукции поля. После поворота вектора скорости на $90^{ \circ}$ - относительное изменение радиуса траектории частицы при этом равно $\epsilon = 5$ % - поле выключают. Затем частица проходит путь $L = 30 см$ до полной остановки. С какой скоростью влетела частица в камеру, если сила сопротивления при ее движении про порционалъна скорости?
Решение:
Рассмотрим сначала движение частицы в однородном магнитном поле. На частицу действуют две силы: сила Лоренца $F_{л}$, которая обеспечивает движение по окружности с центростремительным ускорением, и сила сопротивления $F_{с}$ со стороны окружающего водяного пара (рис.). Уравнение движения под действием силы Лоренца имеет вид
$\frac{mv^{2} }{R} = qvB$,
где $v$ - скорость, $q$ - заряд, $m$ - масса частицы, a $R$ - радиус кривизны ее траектории. Из этого уравнения найдем связь между $R$ и $v$:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{v}{ \alpha B}$.
При малом относительном изменении радиуса кривизны ($\frac{ \Delta R}{R} = \frac{ \epsilon}{100} = 0,05$) можно записать
$\frac{ \Delta R}{R} = \frac{ \Delta v}{v} \approx \frac{ \Delta v}{ v_{0} }$,
где $v_{0}$ - скорость частицы при влете в магнитное поле. Изменение абсолютной величины скорости $\Delta v$ происходит под действием тормозящей силы $F = kv$, где $k$ - константа. Уравнение движения частицы вдоль траектории имеет вид
$kvdt = - mdv$,
или, поскольку $vdt = ds$ (отрезок пути, пройденного частицей).
$ds = - \frac{m}{k} dv$.
В конечных приращениях (за время поворота вектора скорости на $90^{ \circ}$)
$\Delta s \approx \frac{ \pi R}{2} = \frac{ \pi v_{0} }{2 \alpha B}$ и $\Delta v = - v_{0} \frac{ \epsilon}{100}$, откуда получаем
$\frac{ \pi}{2 \alpha B} = \frac{m}{k} \frac{ \epsilon }{100 }$. (1)
Теперь рассмотрим прямолинейный участок траектории частицы после выключения магнитного поля. В этом случае на частицу действует только сила сопротивления, поэтому
$\Delta s = L$, a $\Delta v = - v_{0} \left ( 1 - \frac{ \epsilon }{100} \right )$.
Решение уравнения движения в конечных приращениях будет иметь вид
$L = \frac{m}{k} v_{0} \left (1 - \frac{ \epsilon }{100} \right )$. (2)
Совместное рассмотрение движения на обоих участках траектории позволяет из выражений (1) и (2) найти скорость $v_{0}$, с которой частица влетела в магнитное поле:
$v_{0} \approx \frac{2 \epsilon \alpha LB}{(100 - \epsilon ) \pi } \approx 10^{4} м/с$.
