Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15294
2021-06-21 
Протон с удельным зарядом $\frac{q}{m} = 0,96 \cdot 10^{8} Кл/кг$ налетает на систему из трех плоских металлических сеток, между которыми с помощью двух источников с ЭДС $E_{1} = 500 В$ и $E_{2} = 200 В$ поддерживаются постоянные разности потенциалов (рис.). Расстояния между сетками равны $d$ и много меньше поперечных размеров сеток. В точке, находящейся на расстоянии $\frac{d}{4}$ за второй сеткой, скорость протона оказалась равной нулю. Чему была равна скорость протона на большом удалении от сеток?
Решение:
Скорость $v$ протона на большом удалении от сеток можно найти по закону сохранения энергии
$\frac{mv^{2} }{2} = q \phi \frac{d}{4}$,
где $\phi \frac{d}{4}$ - значение потенциала электрического поля сеток (относительно бесконечности) в точке остановки протона.
Найдем распределение потенциала $\phi(x)$ между сетками 2 и 3 вдоль оси X, приняв за начало отсчета положение второй сетки (рис.). Потенциал $\phi(x)$ является суммой потенциалов $\phi_{12}(x)$ и $\phi_{23}(x)$, где $\phi_{12}(x)$ создается только зарядами сеток 1 и 2, между которыми поддерживается разность потенциалов $E_{1}$, а $\phi_{23}(x)$ - только зарядами сеток 2 и 3 с разностью потенциалов $E_{2}$.
Рассмотрим конденсатор, образуемый сетками 2 и 3. На рисунке приведен график распределения потенциала внутри этого конденсатора. Из соображений симметрии ясно, что потенциал центра конденсатора равен потенциалу на бесконечности, т.е. нулю. (Отметим, что нулю равен потенциал всех точек в плоскости симметрии системы.) Значит, внутри конденсатора потенциал меняется от значения $- \frac{E_{2}}{2}$ на отрицательной пластине до $+ \frac{E_{2}}{2}$ на положительной по линейному закону. Вне конденсатора, где напряженность поля гораздо меньше, чем внутри, при удалении от пластин на малое расстояние (по сравнению с их размерами) потенциал почти не изменяется (а при удалении на бесконечно большое расстояние потенциал убывает до нуля). Аналогичные рассуждения можно провести и для конденсатора, образуемого сетками 1 и 2. Поскольку рассматриваемая точка остановки протона лежит внутри правого конденсатора (на расстоянии $\frac{d}{4}$ от отрицательной пластины), но вне левого конденсатора, для $0 \leq x \leq d$ получаем
$\phi_{12} (x) = \frac{1}{2} E_{1}$ и $\phi_{23} (x) = E_{2} \left ( \frac{x}{d} - \frac{1}{2} \right )$.
После суммирования находим
$\phi(x) = \frac{1}{2} (E_{1} -E_{2} ) + E_{2} \frac{x}{d}$,
и
$\phi \left ( \frac{d}{4} \right ) = \frac{1}{4} (2E_{1} - E_{2} )$.
Итак, скорость протона вдали от сеток будет равна
$v = \sqrt{2 \frac{q}{m} \phi \left ( \frac{d}{4} \right ) } = \sqrt{ \frac{q}{m} \left ( E_{1} - \frac{E_{2} }{2} \right ) } \approx 1,96 \cdot 10^{5} м/с$.
Протон с удельным зарядом $\frac{q}{m} = 0,96 \cdot 10^{8} Кл/кг$ налетает на систему из трех плоских металлических сеток, между которыми с помощью двух источников с ЭДС $E_{1} = 500 В$ и $E_{2} = 200 В$ поддерживаются постоянные разности потенциалов (рис.). Расстояния между сетками равны $d$ и много меньше поперечных размеров сеток. В точке, находящейся на расстоянии $\frac{d}{4}$ за второй сеткой, скорость протона оказалась равной нулю. Чему была равна скорость протона на большом удалении от сеток?
Решение:
Скорость $v$ протона на большом удалении от сеток можно найти по закону сохранения энергии
$\frac{mv^{2} }{2} = q \phi \frac{d}{4}$,
где $\phi \frac{d}{4}$ - значение потенциала электрического поля сеток (относительно бесконечности) в точке остановки протона.
Найдем распределение потенциала $\phi(x)$ между сетками 2 и 3 вдоль оси X, приняв за начало отсчета положение второй сетки (рис.). Потенциал $\phi(x)$ является суммой потенциалов $\phi_{12}(x)$ и $\phi_{23}(x)$, где $\phi_{12}(x)$ создается только зарядами сеток 1 и 2, между которыми поддерживается разность потенциалов $E_{1}$, а $\phi_{23}(x)$ - только зарядами сеток 2 и 3 с разностью потенциалов $E_{2}$.
Рассмотрим конденсатор, образуемый сетками 2 и 3. На рисунке приведен график распределения потенциала внутри этого конденсатора. Из соображений симметрии ясно, что потенциал центра конденсатора равен потенциалу на бесконечности, т.е. нулю. (Отметим, что нулю равен потенциал всех точек в плоскости симметрии системы.) Значит, внутри конденсатора потенциал меняется от значения $- \frac{E_{2}}{2}$ на отрицательной пластине до $+ \frac{E_{2}}{2}$ на положительной по линейному закону. Вне конденсатора, где напряженность поля гораздо меньше, чем внутри, при удалении от пластин на малое расстояние (по сравнению с их размерами) потенциал почти не изменяется (а при удалении на бесконечно большое расстояние потенциал убывает до нуля). Аналогичные рассуждения можно провести и для конденсатора, образуемого сетками 1 и 2. Поскольку рассматриваемая точка остановки протона лежит внутри правого конденсатора (на расстоянии $\frac{d}{4}$ от отрицательной пластины), но вне левого конденсатора, для $0 \leq x \leq d$ получаем
$\phi_{12} (x) = \frac{1}{2} E_{1}$ и $\phi_{23} (x) = E_{2} \left ( \frac{x}{d} - \frac{1}{2} \right )$.
После суммирования находим
$\phi(x) = \frac{1}{2} (E_{1} -E_{2} ) + E_{2} \frac{x}{d}$,
и
$\phi \left ( \frac{d}{4} \right ) = \frac{1}{4} (2E_{1} - E_{2} )$.
Итак, скорость протона вдали от сеток будет равна
$v = \sqrt{2 \frac{q}{m} \phi \left ( \frac{d}{4} \right ) } = \sqrt{ \frac{q}{m} \left ( E_{1} - \frac{E_{2} }{2} \right ) } \approx 1,96 \cdot 10^{5} м/с$.
