Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15290
2021-06-21 
На дне лунки кубической формы размером 10 х 10 х 10 см лежит шар, диаметр которого немного меньше 10 см. В лунку наливают воду плотностью $\rho = 1 г/см^{3}$ до тех пор, пока шар не начинает плавать, касаясь дна лунки. После этого в лунку долили еще $m = 250 г$ воды так, что лунка оказалась заполненной водой до верха (рис.). Какую массу воды налили в лунку вначале? Чему равна плот ность материала шара? Указание: объем шарового сегмента высотой $h$ равен $\Delta V = \pi h^{2} \frac{ \left ( \frac{3d}{2} - h \right ) }{3}$, где $d$ - диаметр шара.
Решение:
По условию, сначала шар касается дна, а затем плавает в лунке, заполненной водой. Очевидно, что он всплывает при этом на высоту $h = \frac{m}{ \rho d^{2}} = 2,5 см = \frac{d}{4}$. Значит, именно такова высота части шара объемом $\Delta V$, находящейся над водой. Плотность материала шара $\rho_{ш}$ определим из закона Архимеда:
$\rho \left ( \frac{ \pi d^{3} }{6} - \Delta V \right ) = \rho_{ш} \frac{ \pi d^{3} }{6}$,
откуда
$\rho_{ш} = \rho \left ( 1 - \frac{2}{d^{3} } h^{2} \left ( \frac{3}{2}d - h \right ) \right ) = \frac{27}{32} \rho = 0,84 г/ см^{3}$.
Далее, когда шар плавает в лунке, заполненной водой, в ней находится объем воды, равный $d^{3} - \left ( \frac{ \pi d^{3}}{6} - \Delta V \right )$, поэтому масса воды, налитая в лунку вначале, равна
$m_{0} = \rho \left ( d^{3} - \left ( \frac{ \pi d^{3} }{6} - \Delta V \right ) \right ) - m = \rho \left ( d^{3} - \frac{27}{32} \frac{ \pi d^{3} }{6} \right ) - m = 310 г$.
На дне лунки кубической формы размером 10 х 10 х 10 см лежит шар, диаметр которого немного меньше 10 см. В лунку наливают воду плотностью $\rho = 1 г/см^{3}$ до тех пор, пока шар не начинает плавать, касаясь дна лунки. После этого в лунку долили еще $m = 250 г$ воды так, что лунка оказалась заполненной водой до верха (рис.). Какую массу воды налили в лунку вначале? Чему равна плот ность материала шара? Указание: объем шарового сегмента высотой $h$ равен $\Delta V = \pi h^{2} \frac{ \left ( \frac{3d}{2} - h \right ) }{3}$, где $d$ - диаметр шара.
Решение:
По условию, сначала шар касается дна, а затем плавает в лунке, заполненной водой. Очевидно, что он всплывает при этом на высоту $h = \frac{m}{ \rho d^{2}} = 2,5 см = \frac{d}{4}$. Значит, именно такова высота части шара объемом $\Delta V$, находящейся над водой. Плотность материала шара $\rho_{ш}$ определим из закона Архимеда:
$\rho \left ( \frac{ \pi d^{3} }{6} - \Delta V \right ) = \rho_{ш} \frac{ \pi d^{3} }{6}$,
откуда
$\rho_{ш} = \rho \left ( 1 - \frac{2}{d^{3} } h^{2} \left ( \frac{3}{2}d - h \right ) \right ) = \frac{27}{32} \rho = 0,84 г/ см^{3}$.
Далее, когда шар плавает в лунке, заполненной водой, в ней находится объем воды, равный $d^{3} - \left ( \frac{ \pi d^{3}}{6} - \Delta V \right )$, поэтому масса воды, налитая в лунку вначале, равна
$m_{0} = \rho \left ( d^{3} - \left ( \frac{ \pi d^{3} }{6} - \Delta V \right ) \right ) - m = \rho \left ( d^{3} - \frac{27}{32} \frac{ \pi d^{3} }{6} \right ) - m = 310 г$.
