Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1529
2016-12-11 
С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? Поверхностная плотность заряда $\sigma$, длина ребра куба $l$.
Решение:
Для определенности рассмотрим силу, действующую на верхнюю грань куба. Разобьем эту грань на малые площадки $\Delta S_{i}$ и представим силу, действующую на грань, как сумму $\vec{F}_{i}$ сил, действующих на каждую площадку $\Delta S_{i}$:
$\vec{F} = \sum \vec{F}_{i}$. (1)
Обозначим через $\vec{E}_{i}$ напряженность электрического поля, создаваемого в области нахождения площадки $\Delta \vec{S}_{i}$ зарядами всех граней, кроме самой верхней храни. Проекция силы $\vec{F}_{i}$ на нормаль к грани $\vec{n}$ равна:
$F_{in} = E^{ \prime}_{i} \Delta S_{i} \sigma \cdot \cos \alpha_{i}$, (2)
а суммарная сила, действующая на верхнюю грань вдоль нормали $\vec{n}$:
$F_{n} = \sum F_{in} = \sigma \sum E^{ \prime}_{i} \Delta S_{i} \cos \alpha_{i} = \sigma \Phi^{ \prime}$ (3)
$F_{n} = \sum F_{in} = \sigma \sum E^{ \prime}_{i} \Delta S_{i} \cos \alpha_{i} = \sigma \Phi^{ \prime}$ (3)
($\sum_{i} \Delta S_{i} \cos \alpha_{i} = \Phi^{ \prime}$ — поток вектора $\vec{E}$ через верхнюю грань куба, создаваемый зарядами всех других граней).
В качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Гаусса выберем куб, размеры которого на бесконечно малую величину превышают размеры рассматриваемого куба, то есть их грани практически совпадают. Тогда поток через верхнюю грань куба внешнего куба равен:
$\Phi = \Phi^{ \prime} + 2 \pi k \sigma l^{2}$, (4)
где $2 \pi k \sigma l^{2}$ — поток, создаваемый заряженной верхней гранью куба.
Воспользуемся теоремой Гаусса для всего куба:
$\Phi_{0} = 6 \Phi = \frac{6l^{2} \sigma}{ \epsilon_{0}} = 4 \pi k 6 l^{2} \sigma$ (5)
Учитывая, что согласно (3):
$F_{n} = \sigma \Phi^{ \prime}$ (6)
и выражая $\Phi^{ \prime}$ из (4, 5)
$\Phi^{ \prime} = 4 \pi kl^{2} \sigma - 2 \pi k l^{3} \sigma = 2 \pi k \sigma l^{3}$, (7)
окончательно находим:
$F_{n} = 2 \pi k \sigma^{2} l^{2}$.
С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? Поверхностная плотность заряда $\sigma$, длина ребра куба $l$.
Решение:
Для определенности рассмотрим силу, действующую на верхнюю грань куба. Разобьем эту грань на малые площадки $\Delta S_{i}$ и представим силу, действующую на грань, как сумму $\vec{F}_{i}$ сил, действующих на каждую площадку $\Delta S_{i}$:
$\vec{F} = \sum \vec{F}_{i}$. (1)
Обозначим через $\vec{E}_{i}$ напряженность электрического поля, создаваемого в области нахождения площадки $\Delta \vec{S}_{i}$ зарядами всех граней, кроме самой верхней храни. Проекция силы $\vec{F}_{i}$ на нормаль к грани $\vec{n}$ равна:
$F_{in} = E^{ \prime}_{i} \Delta S_{i} \sigma \cdot \cos \alpha_{i}$, (2)
а суммарная сила, действующая на верхнюю грань вдоль нормали $\vec{n}$:
$F_{n} = \sum F_{in} = \sigma \sum E^{ \prime}_{i} \Delta S_{i} \cos \alpha_{i} = \sigma \Phi^{ \prime}$ (3)
$F_{n} = \sum F_{in} = \sigma \sum E^{ \prime}_{i} \Delta S_{i} \cos \alpha_{i} = \sigma \Phi^{ \prime}$ (3)
($\sum_{i} \Delta S_{i} \cos \alpha_{i} = \Phi^{ \prime}$ — поток вектора $\vec{E}$ через верхнюю грань куба, создаваемый зарядами всех других граней).
В качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Гаусса выберем куб, размеры которого на бесконечно малую величину превышают размеры рассматриваемого куба, то есть их грани практически совпадают. Тогда поток через верхнюю грань куба внешнего куба равен:
$\Phi = \Phi^{ \prime} + 2 \pi k \sigma l^{2}$, (4)
где $2 \pi k \sigma l^{2}$ — поток, создаваемый заряженной верхней гранью куба.
Воспользуемся теоремой Гаусса для всего куба:
$\Phi_{0} = 6 \Phi = \frac{6l^{2} \sigma}{ \epsilon_{0}} = 4 \pi k 6 l^{2} \sigma$ (5)
Учитывая, что согласно (3):
$F_{n} = \sigma \Phi^{ \prime}$ (6)
и выражая $\Phi^{ \prime}$ из (4, 5)
$\Phi^{ \prime} = 4 \pi kl^{2} \sigma - 2 \pi k l^{3} \sigma = 2 \pi k \sigma l^{3}$, (7)
окончательно находим:
$F_{n} = 2 \pi k \sigma^{2} l^{2}$.
