2021-06-21
В стратифицированной жидкости плотность увеличивается с глубиной $h$ по линейному закону $p(h) = \rho(0)(1 + \alpha h)$,где $\rho(0)$ - известная плотность на поверхности. Для измерения константы $\alpha$ в жидкость на нити, прикрепленной к динамометру, опускают цилиндрическое тело длиной $L$ и сечением $S$. Когда тело перемещается по вертикали на $H$, оставаясь целиком погруженным в жидкость, показания динамометра изменяются на $\Delta F$. Чему равна константа $\alpha$?
Решение:
Воспользуемся законом Архимеда и найдем разность выталкивающих сил при перемещении тела по вертикали на $H$. Очевидно, что если тело опускается, выталкивающая сила увеличивается, а показания динамометра, равные разности веса тела и силы Архимеда, уменьшаются. Пусть в начале верхняя грань цилиндра находится на глубине $h_{1}$, нижняя на глубине $h_{1} + L$, а в конце - верхняя на глубине $h_{1} + H$, нижняя на глубине $h_{1} + H + L$. Так как плотность жидкости меняется по линейному закону, вес воды, вытесненной телом в начале, пропорционален площади трапеции, заштрихованной на рисунке:
$F_{1} = gSL \frac{ \rho(h_{1} ) + \rho (h_{1} + L ) }{2}$.
Аналогично, вес воды, вытесненной телом в конце, равен
$F_{2} = \rho SL \frac{ \rho (h_{1} + H ) + \rho (h_{1} + H + L ) }{2}$.
При этом разность показаний динамометра составляет
$\Delta F = F_{2} - F_{1} = gSL \rho (0) \alpha H$,
откуда и находим константу $\alpha$:
$\alpha = \frac{ \Delta F}{gSL \rho (0)H }$.
Эту константу можно найти и из разности давлений на верхнее и нижнее основания цилиндра длиной $L$ при его перемещении по вертикали на $H$ (убедитесь в этом самостоятельно).