2021-06-21
Батискаф представляет собой шар радиусом $r = 2 м$. При испытаниях в море в нижней части батискафа образовалась течь, и он затонул, а в его верхней части образовалась воздушная прослойка в виде шарового сегмента толщиной $h = 1 м$. Чему равна глубина моря $H$, на которой затонул батискаф? Какая масса воздуха понадобится для того, чтобы вытеснить из батискафа всю воду? Начальное (атмосферное) давление воздуха в батискафе равно давлению, которое создает слой воды толщиной $H_{0} = 10 м$. Указание: объем шарового сегмента толщиной $h$ равен $\Delta V = \pi h^{2}\frac{3r - h}{3}$.
Решение:
Свободная поверхность воды внутри батискафа горизонтальна. Давление вблизи нее, равное давлению воздуха в батискафе, меньше давления в нижней части батискафа (точка А на рисунке) на величину $\rho g(2r - h)$, где $\rho = 10^{3} кг/м^{3}$ - плотность воды. В свою очередь, давление в точке А (дно водоема) складывается из атмосферного давления и давления слоя воды толщиной $H$. Чтобы найти глубину водоема, необходимо для воздуха, находящегося внутри батискафа (его масса по условию не изменилась), записать закон Бойля - Мариотта:
$\rho g(H_{0} + H - (2r - h)) \Delta V = \rho gH_{0} \frac{4}{3} \pi r^{3}$.
По условию, $h = \frac{r}{2}$, поэтому окончательно находим
$H = \frac{27}{5} H_{0} + \frac{3}{2}r = 57 м$.
Чтобы найти массу воздуха, необходимую для вытеснения из батискафа воды, учтем, что в конце, когда воздух заполняет весь объем батискафа, его давление превышает атмосферное на $\rho gH$. Из уравнения состояния находим искомую массу воздуха:
$m = \frac{M \rho gH \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3} }{RT} = 225 кг$,
где $M = 29 г/ моль$ - молярная масса воздуха, $T = 290 К$ - его температура. Можно отметить, что в стандартном баллоне объемом 40 литров под давлением 200 атмосфер при комнатной температуре содержится приблизительно 10 кг воздуха.