2021-06-21
Мыльный пузырь надувают азотом. При какой величине диаметра пузыря он начнет всплывать в атмосферном воздухе той же температуры? Поверхностное натяжение мыльного раствора $\sigma = 45 мН/м$, молярная масса воздуха $M_{в} = 29 г/моль$, азота $M_{a} = 28 г/моль$, атмосферное давление $p_{0} = 10^{5} Па$, массой пленки пренебречь.
Решение:
Азот внутри мыльного пузыря находится под избыточным, по сравнению с атмосферным, давлением $\Delta p = \frac{8 \sigma}{d}$, где $d$ - диаметр пузыря. Этот результат проще всего получить, если мысленно разрезать пузырь на две равные половинки плоскостью, проходящей через его центр, и рассмотреть условие равновесия этих половинок. Если избыточное давление в пузыре равно $\Delta p$, то половинки отрываются друг от друга с силой $\frac{ \Delta p \pi d^{2}}{4}$. С другой стороны, они притягиваются друг к другу силами поверхностного натяжения мыльной пленки, действующими на длине окружности $\pi d$ и равными $2 \sigma \pi d$ (коэффициент «2» учитывает наличие двух поверхностей у пленки). Сравнение этих двух сил и дает величину избыточного давления под пленкой: $\Delta p = \frac{8 \sigma}{d}$.
Пузырь всплывет при условии, что выталкивающая сила, равная весу вытесненного пузырем воздуха при атмосферном давлении $p_{0}$, больше веса азота, находящегося внутри пузыря под давлением $p_{0} + \Delta p$. По уравнению состояния газа,
$\frac{M_{в} p_{0} \pi d^{3}}{6RT} \geq \frac{M_{a}(p_{0} + \Delta p) \pi d^{3}}{6 RT}$,
откуда находим
$d \geq \frac{8 \sigma M_{A} }{ p_{0} (M_{в} - M_{a} ) } = 10^{-4} м$.