2021-06-21
Обмотка массивного ротора электродвигателя сделана в виде прямоугольной рамки площадью $S$ из $N$ витков тонкого провода. Концы обмотки замкнуты между собой, а ее сопротивление равно $R$. Обмотки статора двигателя питаются переменным током и создают в роторе однороднее магнитное поле, вектор индукции $\vec{B}$ которого перпендикулярен оси ротора и вращается вокруг нее с угловой скоростью $\Omega$. Найдите средний тормозящий момент внешних сил, действующих на ротор, если его угловая скорость почти постоянна и равна $\omega$, причем $\omega < \Omega$.
Решение:
Пренебрегая магнитным потоком, пронизывающим материал проводников ротора, начало отсчета времени можно выбрать так, чтобы модуль потока магнитного поля, создаваемого обмотками статора, сцепленного с обмоткой ротора, был равен
$| \Phi(t)| = |BSN \cos( \Omega - \omega)t|$.
Тогда величина ЭДС, возникающей в обмотке, равна скорости изменения сцепленного с этой обмоткой потока внешнего магнитного поля, т.е.
$|E(t)| = \left | \frac{d \Phi}{dt} \right | = | BSN( \Omega - \omega ) \sin ( \Omega - \omega ) t|$.
Величина тока в обмотке ротора равна
$|I(t)| = \frac{|E(t)|}{R}$,
поэтому действующий на ротор момент сил со стороны магнитного поля равен
$|M(t)| = |I(t)BSN \sin ( \Omega - \omega )t | = \frac{( \Omega - \omega )(BSN \sin ( \Omega - \omega ) t )^{2} }{R}$.
Поскольку скорость вращения ротора практически остается постоянной, можно утверждать, что величина искомого среднего тормозящего момента, действующего на ротор, равна
$|M_{торм} | = | \langle M(t) \rangle | = \frac{B^{2}S^{2}N^{2}( \Omega - \omega ) }{R} | \langle \sin^{2} ( \Omega - \omega) t \rangle | = \frac{B^{2}S^{2}N^{2} ( \Omega - \omega ) }{2R}$.
В этом соотношении угловыми скобками обозначена операция усреднения за время $\frac{2 \pi}{ \Omega - \omega}$ и учтено, что среднее значение квадрата гармонической функции за период равно $\frac{1}{2}$.