2021-06-21
При длительной зарядке аккумулятора от источника постоянного тока с ЭДС $E = 5 В$ скорость выделения водорода устанавливается равной $m = 0,2 г/ч$. При этом внутреннее сопротивление аккумулятора таково, что источник отдает ему максимальную мощность. Найдите внутреннее сопротивление источника, если ЭДС аккумулятора $E_{0} < \frac{E}{2}$.
Решение:
После того как аккумулятор полностью зарядился, ни его ЭДС $E_{a}$, ни его внутреннее сопротивление $r_{a}$ не должны изменяться при дальнейшем пропускании зарядного тока. Поэтому можно считать, что эти характеристики аккумулятора не зависят от времени. Если внутреннее сопротивление источника обозначить $r$, то, в соответствии с законом Ома для полной цепи, можно найти ток, текущий через аккумулятор:
$I = \frac{E - E_{a} }{r + r_{a} }$.
С другой стороны, согласно закону Фарадея для электролиза, сила тока должна удовлетворять соотношению
$I = \frac{mFz}{M}$,
где $F \approx 96,5 кКл/моль$ - число Фарадея, $z = 1$ - валентность и $M = 1 г/моль$ - молярная масса атомарного водорода. Считая, что мощность, отдаваемая источником, затрачивается только на совершение работы против сторонних сил в аккумуляторе и выделение тепла в нем, запишем
$N(r_{a} ) = I^{2}r_{a} +IE_{a}$, или $N(r_{a} ) = \frac{(E- E_{a} )(Er_{a} + E_{a}r )}{(r + r_{a} )^{2} }$.
Отдаваемая источником мощность будет максимальной, если
$\frac{dN(r_{a} )}{dr_{a} } = 0$.
Учитывая, что $r + r_{a} \neq 0$ и $E \neq E_{a}$, получим
$E(r + r_{a} ) = 2(Er_{a} + E_{a}r)$, или $r_{a} = \frac{r(E - 2E_{a} ) }{E}$.
Используя это выражение и сравнивая два полученных соотношения для тока $I$, вычислим искомое внутренне сопротивление источника:
$r = \frac{EM}{2mFz} \approx 0,47 Ом$.