2021-06-21
Первоначально в схеме, показанной на рисунке, ключ К находился в положении 1, а оба конденсатора были разряжены. Ключ перевели в положение 2, потом в положение 1 и вновь вернули в положение 2. Найдите отношение количеств теплоты, выделившихся внутри источника после первого и второго переключений ключа в положение 2, если в каждом положении ключ находился достаточно долго, а емкости обоих конденсаторов одинаковы.
Решение:
После первого переключения ключа К в положение 2 происходит заряд конденсаторов. Поскольку емкости конденсаторов одинаковы, первоначально они были полностью разряжены, а теперь подключены к источнику последовательно, установившееся напряжение на каждом из конденсаторов будет равно $\frac{E}{2}$. При этом через источник пройдет заряд $q_{1} = \frac{EC}{2}$. Выделившееся на внутреннем сопротивлении источника количество теплоты можно вычислить на основании закона сохранения энергии, если, как это обычно и делается, пренебречь потерями энергии, связанными с излучением электромагнитной энергии. Действительно, энергия электрического поля, возникшего в конденсаторах после их зарядки, равна $W_{э} = \frac{2q_{1}^{2}}{2C}$. При этом сторонние силы совершили работу $A_{ст} = Eq_{1}$. Часть этой работы была затрачена на создание электрического поля в конденсаторах, а другая равна количеству теплоты, выделившемуся в источнике. Таким образом, после первого переключения ключа в положение 2 на внутреннем сопротивлении источника должно выделиться количество теплоты
$Q_{1} = Eq_{1} - \frac{q_{1}^{2} }{C}$.
После переключения ключа в положение 1 начинается разряд соединенного с ним конденсатора. По истечении достаточно большого промежутка времени этот конденсатор должен полностью разрядиться через резистор $R$, а заряд другого конденсатора (как обычно, пренебрегаем токами утечки) должен остаться неизменным и равным $q_{1}$. После повторного перевода ключа в положение 2 конденсаторы вновь начнут заряжаться, при этом протекший через источник и каждый из конденсаторов заряд $q_{2}$ должен быть одним и тем же. Условие окончания заряда конденсаторов можно записать в виде
$\frac{q_{1} + q_{2}}{C} + \frac{q_{2} }{C} = E$,
а количество теплоты $Q_{2}$, выделившееся на внутреннем сопротивлении источника, должно удовлетворять соотношению
$Eq_{2} + \frac{q_{1}^{2} }{2C} = \frac{q_{2}^{2} }{2C} + Q_{2} + \frac{(q_{1} + q_{2} )^{2} }{2C}$.
Из составленных уравнений найдем искомое отношение количеств теплоты:
$\frac{Q_{1} }{Q_{2} } = 4$.