2021-06-21
На концах невесомого непроводящего стержня длиной $L$ закреплены два небольших шарика. Каждый шарик имеет массу $m$ и заряд $q$. Стержень может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей перпендикулярно стержню на расстоянии $b$ от его конца, и находится в положении устойчивого равновесия в однородном горизонтальном электрическом поле с напряженностью $\vec{E}$. Найдите скорость шарика, удаленного от оси на расстояние $b$, в момент прохождения положения равновесия после отклонения стержня от исходного положения на угол $\alpha$.
Решение:
Пусть, для определенности, заряд шариков положителен ($q > 0$) и $2b < L$. Тогда в положении устойчивого равновесия стержень должен располагаться по отношению к силовым линиям электрического поля так, как показано на рисунке пунктирной линией, поскольку действие сил тяжести на шарики уравновешивается силами реакции стержня, а сам стержень закреплен на вертикальной оси. Сплошной линией на этом рисунке показано положение стержня после его отклонения на угол $\alpha$. Будем считать, что на стержень и шарики силы трения не действуют. Если, как это обычно и делается, не учитывать также потерь энергии, обусловленных ускоренным движением электрических зарядов, на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что кинетическая энергия системы при прохождении ею положения равновесия после отпускания без начального толчка равна работе электрических сил при перемещении заряженных шариков. Полагая стержень твердым телом (иное не оговорено в условии задачи), следует считать, что шарики имеют одинаковые угловые скорости. Учитывая, что стержень является невесомым, и пренебрегая размерами шариков по сравнению с их расстоянием до оси вращения, можно утверждать, что при угловой скорости $\omega$ стержень с шариками обладает кинетической энергией
$W_{к} = \frac{m \omega^{2} (b^{2} + (L - b)^{2})}{2}$.
Работа электрического поля при перемещении стержня из отклоненного положения в положение равновесия равна $A = qE(L - 2b)(1 - \cos \alpha )$. Рассуждая аналогично, можно показать, что при любом знаке заряда шариков и произвольном соотношении между $L$ и $b$ работу сил поля можно вычислить по формуле $A = |q| E |L - 2b|(1 - \cos \alpha )$. Учитывая, наконец, что линейная скорость точки, движущейся по окружности радиусом $b$ с угловой скоростью $\omega$, равна $v = \omega b$, определим искомую скорость:
$v = b \sqrt{ \frac{2 |q| E |2b - L|(1 - \cos \alpha ) }{m (b^{2} + (L - b)^{2} )} }$.