2021-06-21
КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно 1-2-3-4-1, равен $\eta_{1}$. В точке 1 температура и давление рабочего вещества - идеального газа - максимальны. Если бы изменение состояния газа от точки 2 до точки 4 происходило так, что на pV-диаграмме этот участок имел бы вид отрезка прямой, а от точки 1 к точке 2 и от точки 4 к точке 1 - как и в цикле Карно, то КПД машины был бы $\eta_{2}$. Найдите КПД машины при изменении состояния газа по циклу 2-3-4-2, считая, что участок 4-2 - такой же, как и в предыдущем цикле, а два других соответствуют участкам цикла Карно.
Решение:
Обозначим количество теплоты, которым обменивается газ с нагревателем или холодильником при переходе из точки i в точку j, через $Q_{ij}$ и будем считать, что $Q_{ij} > 0$, если газ получает тепло, и $Q_{ij} < 0$, если он отдает тепло. На участках 2-3 и 4-1 цикла Карно изменение состояния газа происходит адиабатически, т.е. без теплообмена с окружающими телами. На участке 1-2 объем газа увеличивается изотермически; следовательно, на этом участке газ должен получать тепло от нагревателя. На участке 3-4 над газом совершается работа без изменения его внутренней энергии; следовательно, на этом участке газ должен отдавать тепло холодильнику. В первом цикле при переходе из точки 2 к точке 4 газ отдает тепло. Поэтому из первого закона термодинамики и определения КПД тепловой машины следует, что
$\eta_{1} = \frac{Q_{12} + Q_{34}}{Q_{12} }, \eta_{2} = \frac{Q_{12} + Q_{24} }{Q_{12} }$.
Во втором цикле при переходе из точки 4 в точку 2 газ совершает работу и его внутренняя энергия увеличивается, поэтому КПД второго цикла равен
$\eta_{3} = \frac{Q_{42} + Q_{31} }{Q_{42} }$.
Нз первых двух соотношений следует, что
$\frac{Q_{34} }{Q_{24} } = \frac{ \eta_{1} - 1}{ \eta_{2} - 1 }$,
а третье соотношение можно представить в виде
$\frac{Q_{34} }{Q_{42} } = \eta_{3} - 1$.
Поскольку $Q_{24} = - Q_{42}$, искомый КПД равен
$\eta_{3} = \frac{ \eta_{1} - \eta_{2} }{1 - \eta_{2} }$.