2021-06-21
Из листовой резины склеили трубку радиусом $r$ и, заткнув один конец, стали надувать ее воздухом. Когда давление внутри трубки превысило атмосферное на $\Delta p$, ее радиус увеличился на $\Delta r$. Найдите период малых вертикальных колебаний груза массой $m$, подвешенного на полоске этой резины длиной $L$ и шириной $b$. Считать, что при деформациях резина подчиняется закону Гука, а ее масса значительно меньше $m$.
Решение:
Если пренебречь затуханием, то уравнение движения груза в проекциях на ось ОХ, направленную вертикально вниз, можно записать в виде
$mx^{ \prime \prime } = - k (x_{0} + x) + mg$,
где $k$ - жесткость полоски, $x_{0}$ - деформация полоски под действием неподвижно висящего на ней груза, $x$ - смещение груза от равновесного положения. При равновесии груза сумма сил, действующих на него, равна нулю, т.е. $mg = kx_{0}$, а уравнение движения груза принимает вид
$mx^{ \prime \prime } = - kx$.
Следовательно, малые вертикальные колебания груза будут гармоническими, причем период этих колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
Определить жесткость $k$ резиновой полоски можно, например, из следующих соображений. Действие избыточного давления $\Delta p$ в трубке, изготовленной из того же листа резины, из которого вырезана полоска, должно уравновешиваться силами напряжения. Согласно закону Гука, линейная плотность напряжения, обусловленного увеличением радиуса трубки (т.е. напряжение в расчете на единицу длины трубки), равна
$f = Eh \frac{2 \pi (r + \Delta r) - 2 \pi r}{2 \pi r} = Eh \frac{ \Delta r}{r}$,
где $E$ - модуль Юнга, а $h$ - толщина листа резины. С другой стороны, сила избыточного давления $\Delta f$, действующая на узкую полоску трубки единичной длины, равна $\Delta f = (r + \Delta r) \Delta \alpha \Delta p$, где $\Delta \alpha$ - центральный угол, под которым видны края этой полоски (рис.). Написанное выражение справедливо для $\Delta \alpha \rightarrow 0$. Условие равновесия рассматриваемой полоски трубки можно записать в виде $\Delta f = 2f \sin \frac{ \Delta \alpha}{2}$, или, учитывая, что $\Delta \alpha \rightarrow 0, \Delta f = f \Delta \alpha$. Подставляя в это соотношение найденные ранее выражения для $\Delta f$ и $f$, получим
$Eh = \left ( 1 + \frac{r}{ \Delta r} \right ) r \Delta p$.
Отсюда найдем жесткость полоски $k = \frac{Ebh}{L}$ и искомый период колебаний груза:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{mL}{ \left ( 1 + \frac{r}{ \Delta r} \right ) rb \Delta p } }$.