2021-06-21
Шарик массой $m$ прикреплен двумя невесомыми нерастяжимыми нитями длиной $L$ каждая к горизонтальной штанге, симметрично закрепленной на вертикальной оси, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ (рис.). Угол между нитями $\alpha$. Найдите силы натяжения нитей.
Решение:
На рисунке показаны силы, действующие на шарик: силы натяжения нитей $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ и сила тяжести $m \vec{g}$. При этом, как обычно, мы пренебрегли силами, действующими на шарик со стороны воздуха. Обозначим угол между плоскостью, в которой располагаются нити, и осью вращения через $\phi$. Поскольку ось вращается равномерно, траектория шарика имеет вид окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Учитывая, что шарик подвешен на одинаковых нитях, прикрепленных симметрично к горизонтальной штанге, можно показать, что радиус этой окружности равен $r = L \cos \frac{ \alpha }{2} \sin \phi$. Поскольку нити расположены симметрично, их силы натяжения равны по модулю: $T_{1} = T_{2} = T$. В соответствии со вторым законом Ньютона, запишем уравнения движения шарика в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
$ma = m \omega^{2} r = 2T \cos\frac{ \alpha}{2} \sin \phi, 0 = mg - 2T \cos \frac{ \alpha}{2} \cos \phi$.
Сила натяжения нитей при любых угловых скоростях вращения оси должна удовлетворять неравенству
$T \geq \frac{mg}{2 \cos \frac{ \alpha }{2} }$,
поэтому при
$\omega^{2} \leq \omega_{кр}^{2} = \frac{g}{L \cos \frac{ \alpha }{2} }$
отклонение от вертикали плоскости, в которой лежат нити, должно быть равно нулю и, следовательно,
$T = \frac{mg}{2 \cos \frac{ \alpha }{2} }$.
Если же $\omega > \omega_{кр}$, то $\phi \neq 0$ и
$T = \frac{m \omega^{2}L }{2}$.